- •1. Элементы теории множеств
- •1.1 Понятие множества. Основные определения
- •Способы задания множества
- •Равенство множеств
- •Подмножество
- •Операции над множествами
- •Предварительные замечания
- •Объединение множеств
- •1.5.3 Пересечение множеств
- •1.5.4 Разность множеств
- •1.5.5 Симметрическая разность
- •1.5.6 Универсальное множество
- •1.5.7 Дополнение множества
- •Принцип двойственности в алгебре множеств
- •Тождества алгебры множеств
- •Разбиение множества
- •Упорядочение элементов и прямое произведение множеств
- •Упорядоченное множество
- •Прямое произведение множеств
- •1.9.3 Проекция множества
- •1.10 Соответствия
- •1.10.1 Обратное соответствие
- •1.10.2 Композиция соответствий
- •1.10.3 Отображения и функции
- •1.10.4 Основные свойства отображений
- •1.11 Функция
- •1.11.1 Способы задания функции
- •1.11.2 Сужение функции
- •1.11.3 Обратная функция
- •1.11.4 Функция времени
- •1.11.5 Понятие функционала
- •1.11.6 Понятие оператора
- •1.12 Отношения
- •1.12.1 Задание бинарных отношений
- •Свойства отношений
- •1.12.3 Отношение эквивалентности
- •1.12.4 Отношение порядка
- •1.13 Конечные и бесконечные множества
- •1.13.1 Счётные и несчётные множества
- •1.13.2 Свойства счетных множеств
- •1. Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.
- •2. Объединение любого конечного или счетного множества счетных множеств есть снова счетное множество.
- •3. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
- •1.13.3 Эквивалентность множеств
- •1.13.4 Теорема г. Кантора
- •1.13.5 Теорема Кантора – Бернштейна
- •1.13.6 Верхняя и нижняя границы множества
- •1.13.7 Теорема о верхних и нижних границах подмножества
- •1.13.8 Понятие мощности множества
- •2. Основные положения теории графов
- •2.1 Определение графа
- •2.2 Матричные представления графа
- •2.3. Достижимость
- •2.4. Неориентированные графы
- •2.5. Изоморфизм графов
- •2.6. Отношение порядка и отношение эквивалентности на графе
- •2.7. Характеристики графов
- •2.8 Операции над графами
- •2.9. Определение путей экстремальной длины
- •2.9.1. Задача о кратчайшем пути между двумя вершинами (ориентированного графа
- •2.9.2 Задача о нахождении пути максимальной длины между двумя фиксированными вершинами ориентированного графа
- •Номера работ обозначены числами в кружке.
- •Литература
1.11.6 Понятие оператора
Оператором О называется отображение О: XY, в котором множества X и Y являются множествами функций с элементами x(t) и y(t), так что элементами множества О будут пары (x(t), y(t)). В этом случае говорят, что оператор О преобразует функцию x(t) в функцию y(t):
y(t)=O[x(t)] 1.54
Пример. Оператор дифференцирования p, ставивший в соответствие функции f(x) функцию . Т.е. .
В задачах управления роль оператора часто выполняет сама управляемая система, преобразующая по некоторому закону О входной сигнал x(t) в выходной сигнал y(t), как это показано на рис. 1.12
x(t) О y(t)
Рис. 1.12
1.12 Отношения
Важным частным случаем отображения является случай, когда множества X и Y совпадают. При этом отображение R: ХХ будет представлять собой отображение множества Х в самого себя и будет определяться парой (X, R), где RX2. В этом случае для обозначения данного отображения используется термин отношение и вводят специальную символику. Пусть отображение (X, R) является отношением. Рассмотрим элемент yRx. Говорят, что элемент y находится в отношении R к элементу х и записывают это в виде yRx
Подмножество RA1A2…An называется n-местным отношением между А1, А2, …..Аn (или просто на А, если А1=А2=….=Аn=А). Если n=1, то R называется унарным отношением. В этом случае R есть просто подмножество множества А, RА. Если n=2, то R называется бинарным отношением между А1 и А2, RА1А2. Если n=3, то R называется тернарным отношением, А2, RА1А2А3. Говорят, что (а1, а2, …аn) находятся в отношении R, если упорядоченная n-ка а1, а2, …аn)R. Одноместные отношения называются признаками: а обладает признаком R.
Наиболее часто встречаются бинарные отношения. Если R есть некоторое бинарное отношение, то (х, у)R и xRy –взаимозаменяемы.
Пример 1. Множество {(2, 4), (7, 3), (3, 3), (2, 1)}, будучи множеством упорядоченных пар натуральных чисел, есть бинарное отношение на N, где N – множество натуральных чисел.
Пример 2. Отношение “меньше чем” для целых чисел есть множество {(x, y)| для целых чисел х и у найдется такое положительное число z, что x+z=y}. Если это отношение выразить символически обычным образом, то предложения “4<9” и “(4, 9) <” будут синонимичны (здесь знаком “<” обозначено “меньше чем”).
Пример 3. Операция сложения в множестве целых чисел z: выражение k=m + n можно записать в форме утверждения (k, m, n) +, т.е. k есть сумма целых чисел m и n. Это отношение является тернарным отношением.
Для бинарных отношений, являющихся как и соответствия, подмножествами прямых произведений, аналогично соответствиям вводятся понятия области определения, области значений, проекции на множества (оси) и т.п. Например, область определения отношения R – это множество первых координат из R, а область значений R – множество вторых координат элементов из R. Например, областью определения для отношения материнства служит множество всех матерей, в то время как областью значений этого отношения – множество всех людей.
Пусть дано отношение R на А. Для любого подмножества А1А естественно определяется отношение , называемое сужением R на А1, которое получается из R удалением всех пар, содержащих элементы, не принадлежащие А1. Другими словами, .