- •14.8. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •14.8. 1. Теорема Ферма (1601-1665гг)
- •Предположим, что т.Е. То будем иметь:
- •Геометрический смысл теоремы Ферма
- •14.8.2. Теорема м. Ролля (1652-1719)
- •Геометрический смысл теоремы Ролля
- •14.8.3. Теорема Лагранжа (1736-1813)
- •Геометрический смысл теоремы Лагранжа
- •14.8.4. Теорема Коши (1789-1857)
- •14.8.5. Правило Лопиталя (1661-1704)
- •Лекция 15. Применение дифференциального исчисления к исследованию функции
- •15.1. Признаки монотонности функции
- •15.2. Экстремумы функции
- •Необходимый признак экстремума функции
- •15.4. Применение второй производной к исследованию функции Второй достаточный признак экстремума.
- •15.5. Выпуклость и вогнутость линии. Точки перегиба
- •15.6. Асимптоты линий
- •15.7. Общая схема исследования функции
- •5. Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба.
- •6. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке .
- •7. Алгоритм отыскания асимптоты графика функции .
- •8. Алгоритм исследования и построения графика функции.
15.6. Асимптоты линий
Определение 15.5. Прямая линия называется асимптотой, , если расстояние от точки линии до прямой стремится к нулю при . Будем различать вертикальные и наклонные асимптоты.
1) Вертикальные асимптоты графика функции находятся так,
если то - вертикальные асимптоты. (Функция, стремящаяся к исследуется в окрестности точки , т.е. или ).
2) Наклонные асимптоты.
Асимптота – это прямая, следовательно, ее уравнение , где , (15.1)
, (15.2)
Заметим, что если равенство (15.1) может осуществляться, а равенство (15.2) нет , тогда линия - асимптот не имеет.
Пример 15.6 .Дана функция . Найти асимптоты.
Вертикальная асимптота:
Наклонные асимптоты: :
Наклонных асимптот нет.
Пример 15.7. Дана функция . Найти асимптоты.
Вертикальные: - вертикальные асимптоты. Наклонные:
Следовательно, наклонные асимптоты (биссектриса I и III координатных углов).
15.7. Общая схема исследования функции
Область определения функции.
Точки разрыва и интервалы непрерывности.
Асимптоты.
Точки пересечения графика с осями координат.
Четность нечетность графика (симметрия графика).
Интервалы монотонности. Экстремумы и значения функции в экстремумах.
Интервалы выпуклости, вогнутости функции, точки перегиба.
Пример 15.8. Исследовать функцию и построить её график
1.
2. , точка разрыва II рода, т.к.
- интервалы непрерывности.
3. Наклонная
; .
х |
0 |
1 |
у |
-1 |
0 |
4. Точки пересечения графика с осями:
Если одна точка пересечения с осями координат.
5. Четность, нечетность.
- не является ни четной, ни нечетной, следовательно, график несимметричен ни относительно осей Ох и Оу, ни относительно начала координат .
6. Найдем производную: и приравняем ее к нулю: . критические точки; производ-ная .
О
Точка - максимум; Точка - минимум; .
7. Интервалы выпуклости, вогнутости функции, точки перегиба.
Найдем вторую производную:
Точек перегиба нет.
Т
Приложение производной и дифференциала алгоритмы действий.
1. Алгоритм нахождения критических точек функции.
1. Найти производную функции .
2. Найти точки, в которых или не существует.
2. Алгоритм исследования функции на монотонность.
Пусть дана дифференцируемая функция на интервале :
1. Находим ее производную .
2. Находим корни уравнения .
3. Разбиваем числовую прямую корнями на интервалы.
4. Определяем знак на каждом из интервалов.
5. Согласно признаку монотонности выносим заключение о монотонности.
3. Алгоритм исследования функции на экстремум (первое правило).
Пусть в интервале дана дифференцируемая функция .
1. Находим производную .
2. Находим критические точки , то есть точки, в которых или не существует.
3.Определяем знак слева и справа от каждой из этих критических точек.
4.Согласно первому достаточному признаку существования экстремума выносим заключение об экстремуме.
5. Вычисляем значение функции в точках экстремума.
4. Алгоритм исследования функции на экстремум (второе правило).
1. Найти .
2.Найти стационарные точки, т.е. решить уравнение .
3. Найти .
4. Вычислить значения второй производной в стационарных точках.
5. Сделать вывод об экстремуме.
Заметим, что пользоваться вторым правилом обычно проще, чем первым, но второе правило имеет более узкий круг применения, а именно:
Если , то в точке нельзя судить о наличии экстремума.
Если не существует, то тоже не существует, т.е. второй достаточный признак в этом случае тоже не применим, и нужно воспользоваться первым достаточным признаком.