- •14.8. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •14.8. 1. Теорема Ферма (1601-1665гг)
- •Предположим, что т.Е. То будем иметь:
- •Геометрический смысл теоремы Ферма
- •14.8.2. Теорема м. Ролля (1652-1719)
- •Геометрический смысл теоремы Ролля
- •14.8.3. Теорема Лагранжа (1736-1813)
- •Геометрический смысл теоремы Лагранжа
- •14.8.4. Теорема Коши (1789-1857)
- •14.8.5. Правило Лопиталя (1661-1704)
- •Лекция 15. Применение дифференциального исчисления к исследованию функции
- •15.1. Признаки монотонности функции
- •15.2. Экстремумы функции
- •Необходимый признак экстремума функции
- •15.4. Применение второй производной к исследованию функции Второй достаточный признак экстремума.
- •15.5. Выпуклость и вогнутость линии. Точки перегиба
- •15.6. Асимптоты линий
- •15.7. Общая схема исследования функции
- •5. Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба.
- •6. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке .
- •7. Алгоритм отыскания асимптоты графика функции .
- •8. Алгоритм исследования и построения графика функции.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа
Геометрический смысл изображен следующим графиком. Обозначим через - угол наклона к секущей .
Из но
П
Так как угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту хорды, то касательная и хорда параллельны. Геометрический смысл теоремы состоит в том, что на дуге найдется такая точка , с общей абсциссой с, касательная в которой параллельна хорде.
Заметим, что теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа, когда
14.8.4. Теорема Коши (1789-1857)
Теорема 14.4. Если и непрерывны на отрезке , дифференцируемы, на интервале , причем , то между точками и найдется такая точка , что имеет место равенство:
.
14.8.5. Правило Лопиталя (1661-1704)
Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида
Теорема 14.5. Пусть и - определены в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки и удовлетворяет условиям:
т.е. и - бесконечно малые;
и - дифференцируемые функции;
Тогда этот предел равен: .
Аналогично, для случаев .
Пример 14.15.
1)
2)
Заметим, что все другие неопределенности - сводятся к тоже могут быть раскрыты по правилу Лопиталя.
Полезны следующие преобразования:
Лекция 15. Применение дифференциального исчисления к исследованию функции
15.1. Признаки монотонности функции
Одно из самых важных назначений дифференциального исчисления – это применение его к исследованию функций (линий). Эта процедура опирается на весьма простую связь между поведением функции и свойствами ее производных.
Теорема 15.1. (Необходимый и достаточный признак монотонности).
Если функция в интервале возрастает, то её производная - неотрицательная.
Если - убывает, то её производная неположительная .
Если , (то есть не изменяется), то
Г
Если подвижная точка при движении по графику функции слева на право поднимается, то касательная к графику функции образует острый угол с осью Ох ; если же точка опускается, то касательная образует тупой угол, .
В интервале монотонности функции знак её производной не может изменяться на противоположный.
Достаточный признак монотонности читается из теоремы в обратном порядке.
Пример 15.1. Исследовать на монотонность функцию:
Решение: Найдем: Приравняем , то есть
.
Вся числовая ось
разбивается на три интервала:
1. функция возрастает;
2. функция убывает;
3. функция возрастает.
Определение 15.1. Те, значения , в которых производная обращается в нуль, называются стационарными точками функции.
Как видно из нашего примера - в этих точках функция меняет характер своего поведения, сначала возрастает, потом убывает и т.д.
15.2. Экстремумы функции
Определение 15.2. Точка называется точкой максимума функции , если , есть наибольшее значение функции в окрестности точки . Точка - минимум, если - наименьшее значение функции в окрестности точки . Точки максимум и минимум объединяются названием точки экстремума.