Доведення

Нехай p=s+iσ довільна точка півплощини Re(p)=s>s0. Враховуючи, те що , знайдемо:

Так як і

Т аким чином . Звідси слідує те що інтеграл має абсолютну збіжність, тобто зображення існує і однозначне в півплощині Re(p)=s>s0. Доведено

Зображення деяких оригіналів:

1 )Хевісайд

2)

3) Степенева:

35 Властивості перетворення Лапласа.

Нехай:

F(t)→F(t)

1. Лінійність:

αf(t) +βg(t)→

де g(t) →

Знайдемо зображення тригонометричної функції:

2. Подібність:

Доведення

Пр:

3)Запізнення (загаювання):

4)Заув:

Доведення:

4). Диференціювання оригіналу

Доведення

Нуль в першому доданку виходить тому, що f(t) э функція оригіналу.

6)Диференціювання зображень:

7)Інтегрування оригіналу:

Доведення: Нехай Застосуємо властивість №5

8)Інтегрування зображення:

Доведення:

=

=

9). Зображення згортки функції

Означення: Згорткою двох функцій та називається функція:

Властивості згортки: Неважко показати, що

Доведення: можна впевнитися, змінивши , що згортка має .

Отже, перемноження оригіналів рівносильне їх згортці:

1 0). Зображення періодичного оригіналу:

Нехай, період Т будь-якого t: .

Розглянемо . Нехай,

Знайти зображення лівої і правої частини:

36 Теорема Бареля

Доведення

Можна довести. Що згортка теж оригінал.

Знайдемо порядок інтегрування

Зробимо заміну:

Теорему доведено

37 Формула Рімана – Мелліна.

Теорема: Якщо задовольняє умови діріхле і збігається вздовж прямої

Зауваження: Якщо - неперервна, то:

Доведення:

Запишемо інтеграл Фурє для функції:

Помножимо ліву і праву частину на

Зробимо заміну:

Інтегрування ведеться вхдовж вертикальної прямої.

Y

s

0

x

38 Знаходження оригіналів за допомогою лишків.

Теорема:в умовах виконання теореми(формули Рімана-Меліна):

-особливі точки

Доведення

Оскільки відомо, що F(p)-аналітична в півплощині

Розглянемо коло з центром в точці 0, такого великого радіуса, щоб в нього попали точки

Розглянемо замкнутий контур:

За теоремою лишки :

Лема Жордана: якщо рівномірно відносно р, тоді:

Отже за лемою Жордана:

■

39 Ітеграл Дюамеля

f -> F ; -> Ф => pF(p)Ф(p) ->

Доведення

За властивістю диференціювання оригінала :

pФ(p) – (0) -> ’(t)

За теоремою Бореля : pФ(p)F(p) – (0)F(p) -> f* ’ – f(t) доведення закінчено

Розглянемо деяке диференціальне рівняння з нульовими початковими умовами :

Ly = f(x) + нульові початкові умови

Розглянемо інше диференціальне рівняння :

Ly₁ = 1 -> перетворення Лапласа -> A(p)Y(p) = F(p)

Y(p) =

Y(p) = Y₁(p)F(p)p

За формулою Дюамеля отримуємо :

y(t) =