16 Інтеграл Фур’є в тригонометричній формі. Умови збіжності.

Розглянемо функцію f(x) на проміжку (-l;l). Нехай вона задовольняє умовам Діріхле, тоді:

Підставимо сюди значення коефіцієнтів:

Введемо позначення:

Нехай f(x) – не є періодичною і є інтегрованою на всій числовій прямій:

Тоді, перший доданок

Будемо збільшувати l, тоді проміжок (-l;l) розтягнеться на всю числову пряму. Позначимо інтеграл під знаком ряду:

Природньо вважати, що при цей ряд перетвориться на інтеграл . Одержимо:

Це інтеграл Фур’є в тригонометричній формі.

Якщо f(x) - інтегрована на R та задовольняє умовам Діріхле на кожному скінченному проміжку, то інтеграл Фур’є збігається в кожній точці до значення:

17 Інтеграл Фур’є в в комплексній формі.

Запишемо інтеграл Фур`є в тригонометричній формі:

Можна помітити, що інтеграл в дужках – парна функція відносно , бо - під знаком cos. Це значить, шо формулу можна записати у вигляді:

- непарна відносно , звідси

Помножимо остаточний інтеграл на число і додамо до інтеграла Фур`є:

За формулою Ейлера

Назвемо функцію

- перетворення Фур`є

- обернене перетворення Фур`є

Іноді перетаоренням Фур’є називають функцію

- спектральна характеристика.

Функція називається амплітудно-частотним спектром.

- фазо-частотний спектр.

В інших позначеннях :

Амплітудно-частотний спектр -

Фазо- частотний спектр - .

Ці функції можуть відрізнятись коефіцієнтами.

18 Перетворення Фур’є в комплексній формі .Sin-,cos- перетворення Фур’є

Згадаємо формулу Ейлера

Підставимо ці формули в ряд Фур’є:

(1)

Знайдемо вирази для комплексних коефіцієнтів:

Таким чином, формулу (1) можна записати:

, або (2)

Коефіцієнти цього ряду можна записати:

(3)

Рівність (2) називається комплексною формою ряду Фур’є функції f(x), а число , знайдене за формулою (3) - комплексними коефіцієнтами ряду Фур’є.

Якщо функція f(x), задається на відрізку , то комплексна форма її ряду Фур’є має вигляд:

Формулу Фур’є можна представити в симетричній формі запису:

,

У випадку парної функції:

де

У випадку непарної функції:

Функції і називають відповідно косинус-перетвореннями і синус-перетвореннями Фур’є для функції f(x).

19 Властивості перетворення Фур’є.

1) Лінійність

2)

Знайдемо 1-й доданок

інтегрована на R,

, при

За допомогою перетворення Фур’є можна розв’язувати диференційні рівняння тому, що взявши перетворення Фур’є від лівої та правої частини рівняння ми одержимо лінійні рівняння відносно функції F. Знайшовши функцію F, знаходимо f.

3)

4)

₅₎

20 Похідна ф-ції комплексної змінної. Умови Коші – Рімана.

Теорема: Похідна (z) шснує в т. , тоді і тільки тоді, коли U(x;y), V(x;y) диференц. В цій точці та зв’язані двома рівностями:

ці рівності називаються умовами Коші-Рімана.

f(z)=U+iV Доведення:

1. Нехай ( ) = За властивістю границь: = ( + ,

при Тоді помноживши ліву і праву частини на знаменник:

( ) (1)

неск. мала більш високого порядку, ніж

Нехай f(z)=U+iV

( )=A+Bi z=x+iy

(2)

(3)

Оскільки за умовою U і V – диференційовані, то з першої рівності випливає: ;

З другої рівності випливає:

2. Нехай виконується умова Коші-Рімана:

; Тоді має місце система (3). Другу рівність (3) помножимо на i й додамо до першої. Вийде рівність (2).

Зауваження: У диференц. функцій f(z), U і V-жорстко зв’язані, тобто якщо задати U, то V знаходиться точно за константою (і навпаки).

Наприклад: Задано U(x;y). Знайдемо функцію V(x;y), щоб функція V(z) була диференційована.

Щоб знайти невідому функцію V необхідно розглянути інтеграл другого роду:

Якщо задано V, то .

Зауваження. Якщо f’(z) існує, то її можна знайти за однією із формул:

Зауваження. Якщо U і V зв’язані умовами Коші-Рімана, то вони обов’язково будуть гармонічними:

U - гармонічна.

Така пара функцій U і V, яка зв’язана умовами Коші-Рімана називається гармонічно-спряженими функціями.