25. Теорема фон Неймана существование цены матричной игры в смешанных стратегиях.

Теорема (фон-Неймана). В матричной игре существует пара смешанных стратегий, таких что

1. ,  pP_m, qQ_n.

2.  =  = .

Число ν = E( *, *) p q называется ценой игры в смешанных стратегиях.

По теореме фон-Неймана любая матричная игра имеет пару оптимальных смешанных стратегий. Для решения матричной игры необходимо отыскать эти оптимальные стратегии и цену игры.

Доказательство. Сначала покажем, как представить задачу о выборе наилучших стратегий в виде ЛП, а затем докажем теорему.

Первый игрок: (p)  max

Пусть u_i = p_i /(p), i = 1,…, m, в предположении (p) > 0.

Тогда u_i  0, i = 1,…, m, и Заметим, что и задача (p)  max может быть записана следующим образом:

,

. Аналогичным образом получаем задачу второго игрока:

где v_j = q_j /(q), j = 1,…, n. Полученные задачи являются взаимодвойственными. Пусть — оптимальные решения этих задач.

Положим , . Из второй теоремы двойственности следует, что

Просуммировав, получим

.

Поделим на

Теперь докажем первое утверждение теоремы:

Аналогично

т.е.

Докажем второе утверждение теоремы.

Из предыдущего неравенства имеем:

т.е.

Н о по лемме      =  =

26. Метод Шепли-Сноу решения матричных игр.

27. Равновесие по Нэшу.

Ситуация, в которой два или более агентов принимают решения по своим стратегиям (strategies), причем ни один из них не может извлечь выгоду от каких-либо изменений в своих стратегиях при неизменности последних, осуществляемых в настоящее время другими агентами. Подобное некооперативное равновесие обычно не является оптимальным по Парето (Pareto-optimal) и может быть улучшено в результате какого-либо вида сотрудничества.

Равновесие Нэша (названное в честь Джона Форбса Нэша) в теории игр — тип решений игры двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив своё решение в одностороннем порядке, когда другие участники не меняют решения. Такая совокупность стратегий выбранных участниками и их выигрыши называются равновесием Нэша.

Концепция равновесия Нэша (РН) не совсем точно придумана Нэшем, Антуан Августин Курно показал, как найти то, что мы называем равновесием Нэша в игре Курно. Соответственно, некоторые авторы называют его равновесием Нэша-Курно. Однако Нэш первым показал в своей диссертации Некооперативные игры (1950), что равновесия Нэша должны существовать для всех конечных игр с любым числом игроков. До Нэша это было доказано только для игр с 2 участниками с нулевой суммой Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргернштерном.

28. Оценка пропускной способности смо.

Под системой массового обслуживания (СМО) понимают динамическую систему, предназначенную для эффективного обслуживания потока заявок (требований на обслуживание) при ограничениях на ресурсы системы.

Пропускная способность СМО определяется производительностью комплекса технических средств «и принятой организацией обслуживания заявок. Под организацией обслуживания понимается правило, в соответствии с которым осуществляется обслуживание заявок из очереди, а пропускная способность показывает, как система справляется с обслуживанием входящего потока. Выделяются два вида обслуживания: бесприоритетные и приоритетные дисциплины. В случае использования приоритетных дисциплин обслуживание текущего требования может быть прервано поступлением нового требования. При этом прерванное требование ставится в очередь на повторное обслуживание, которое, как правило, начинается с того момента, на котором возникло прерывание. Для расчета показателей обслуживания и оптимального распределения ресурсов СИО можно применять аналитический аппарат теории массового обслуживания, развитый в работах. Исходными далными при разработке такого класса систем являются характеристики входящего потока требований на обслуживание и время обслуживания, т. е. допустимое время задержки получения результатов обработки после проведения натурного кеперимента.

Основные характеристики входного потока требований в СИО и ее элементах зависят от объемов измерительной информации, получаемых в кожном эксперименте, от количеств;» контролируемых параметров и их частотных диапазонов, от режимов работы испытательных средств и программ натурных испытаний. При проэктировании и расчете показателей обслуживания заявок в СИО и элементах обычно делается допущение об однородности входного потока, его стационарности, ординарности и отсутствии последействия, т. с. принимается гипотеза о том, что «входной поток требований обладает свойствами простейшего, пуассоновского потока. Правомерность такого подхода подтверждается еще и тем, что замена потока любой структуры (простейшим создает наиболее тяжелые условия для работы системы и позволяет получить максимальные оценки снижения ее эффективности при стационарных потоках. Поэтому если при проектировании СИО рассчитывать параметры ее элементов на случай обслуживания простейших потоков требований, то обслуживание других случайных потоков с одинаковой плотностью поступления требований будет еще надежнее.