11.Алгоритм симплекс-метода.

Рассмотрим  задачу ЛП Будем считать ее невырожденной. В этих предположениях приведем алгоритм симплекс-метода.

Алгоритм

1. Начать с д.б.р. .

2. Вычисляем оценки по формуле .

3. Если , то x0 - оптимальное решение, конец, иначе

4. Находим  (это правило носит рекомендательный характер, поскольку можно выбрать любую положительную оценку).

5. Если , то целевая функция неограничена, конец, иначе

6. Находим .

7. Элемент xlk становится ведущим, и делается преобразование симплекс-таблицы по формулам (2.11).

8. Переход на 2.

В случае, если задача ЛП не вырождена, алгоритм, очевидно, конечен. В самом деле, в этом случае q>0, а значит, действует замечание к теореме 6, и новое д.б.р. будет таким, что значение целевой функции будет меньше, чем на предыдущем д.б.р. Ну а поскольку допустимых базисных решений  конечное число, а на каждом шаге алгоритма мы обязательно переходим к новому д.б.р., то за конечное число итераций алгоритм закончит свою работу либо в п. 3, либо в п.5.

 

12. Искусственное начальное решение. М-метод

Рассмотрим модификацию метода начальное решение. М-метод

  (2.13)

Здесь M>0 - большое положительное число, которое можно интерпретировать как штраф за то, что искусственная переменная остается в базисе. Поскольку мы решаем задачу минимизации, то симплекс-метод будет стремиться к тому, чтобы все искусственные векторы вышли из базиса, так как если они остаются в базисе, то значение целевой функции сильно возрастает.

Также, как и в предыдущем пункте, можно считать, что bi≥ 0. А значит, и

 будет д.б.р. для задачи (2.13). Запустим алгоритм симплекс-метода для задачи (2.13), взяв в качестве начального д.б.р.  x0 . Возможно 2 варианта:

Получено оптимальное решение . Здесь возможны 2 подслучая:

a) в этом случае задача (2.1) не имеет допустимых решений.

b) . Покажем, что  есть оптимальное решение задачи(2.1) min cx Ax=b x≥0.

Целевая функция в задаче (2.13) неограничена. Здесь возможны 2 варианта:

Задача (2.1) имеет допустимые решения. Поскольку в задаче (2.13) целевая функция неограничена, это означает, что .

вектор Ak является основным и все его коэффициенты разложения по искусственным векторам равны 0. Пусть  - допустимое решение (2.1). Строим новое решение :

, где B – множество индексов базисных векторов.

, где N – множество индексов небазисных векторов.

Покажем, что

 - допустимое решение (2.1):

, т.к. можно считать, что это разложение вектора  Ak по текущему базису, поскольку, как было доказано ранее, все коэффициенты при базисных векторах, являющихся искусственными, равны 0.

Очевидно (по построению), что .

Но решение х-штрих  остается допустимым при любом q>0, а .

.

b). возможна ситуация, когда целевая функция в M-задаче (2.13) неограничена, а задача 2.1 не имеет допустимых решений

13.Определение двойственной задачи

 Каждой задаче линейного программирования можно определенным образом сопоставить некоторую другую задачу (линейного программирования), называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой задаче. Дадим определение двойственной задачи по отношению к общей задаче линейного программирования, состоящей, как мы уже знаем, в нахождении максимального значения функции

(32)

при условиях

(33)

(34)

Определение 13.

Задача, состоящая в нахождении минимального значения функции

(35)

при условиях

(36)

(37)

называется двойственной по отношению к задаче (32) – (34). Задачи (32) – (34) и (35) – (37) образуют пару задач, называемую в линейном программировании двойственной парой. Сравнивая две сформулированные задачи, видим, что двойственная задача составляется согласно следующим правилам:

1. Целевая функция исходной задачи (32) – (34) задается на максимум, а целевая функция двойственной (35) – (37) – на минимум.

2. Матрица

(38)

составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений (33) исходной задачи (32) – (34), и аналогичная матрица

(39)

в двойственной задаче (35) – (37) получаются друг из друга транспонированием (т. е. заменой строк столбцами, а столбцов – строками).

3. Число переменных в двойственной задаче (35) – (37) равно числу ограничений в системе (33) исходной задачи (32) – (34), а число ограничений в системе (36) двойственной задачи – числу переменных в исходной задаче.

4. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции (35) двойственной задачи (35) – (37) являются свободные члены в системе (33) исходной задачи (32) – (34), а правыми частями в соотношениях системы (36) двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целевой функции (32) исходной задачи.

5. Если переменная x_j исходной задачи (32) – (34) может принимать только лишь положительные значения, то j–е условие в системе (36) двойственной задачи (35) – (37) является неравенством вида “? ”. Если же переменная x_j может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то 1 – соотношение в системе (54) представляет собой уравнение. Аналогичные связи имеют место между ограничениями (33) исходной задачи (32) – (34) и переменными двойственной задачи (35) – (37). Если i – соотношение в системе (33) исходной задачи является неравенством, то i–я переменная двойственной задачи . В противном случае переменная у_j может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Двойственные пары задач обычно подразделяют на симметричные и несимметричные. В симметричной паре двойственных задач ограничения (33) прямой задачи и соотношения (36) двойственной задачи являются неравенствами вида “ ”. Таким образом, переменные обеих задач могут принимать только лишь неотрицательные значения.