5.3 Колебательное звено (Инерционное звено второго порядка, или апериодическое звено второго порядка)

Уравнение динамики звена

в операторной форме уравнение динамики колебательного звена

Примером колебательного звена являются электрические колебательные контуры, состоящие из индуктивности, емкости и активного сопротивления (рисунок 5.11).

Рисунок 5.11 – Колебательный контур

Передаточная функция звена

Переходная функция звена – это реакция на единичное ступенчатое входное воздействие

х_вх(t)=1(t)

,

где - угловая частота собственных колебаний,

=arctg - начальная фаза колебаний,

α= - декремент затухания,

ξ – относительный коэффициент затухания.

Характер переходной функции зависит от ξ следующим образом

1. Если 0<ξ<1, то переходная функция звена имеет вид затухающих колебаний (рисунок 5.12,а).

2. Если ξ=0, то переходная функция колебательного звена представляет собой незатухающие гармонические колебания (рисунок 5.12,б).

3. При -1<ξ<0 на выходе звена возникают возрастающие по амплитуде колебания (рисунок 5.12,в).

4. Если ξ>1 колебательное звено превращается в апериодическое звено второго порядка.

,

где ,

а)	б)
в)

Рисунок 5.12 – Переходная функция колебательного звена при различных значениях коэффициента затухания

Импульсная переходная функция колебательного звена изображена на рисунке 5.13.

Рисунок 5.13 – Импульсная переходная характеристика колебательного звена

Колебательным звеном может быть элемент системы, содержащий минимум две ёмкости энергии: в одной емкости накапливается потенциальная, а в другой – кинетическая энергия. Канал, через который ёмкости обмениваются энергией, обладает сопротивлением, и в нем происходят потери энергии.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика колебательного звена (рисунок 5.14) соответствует выражению

,

где А(ω)= ,

Рисунок 5.14 – Амплитудно-фазовая частотная характеристика колебательного звена

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика колебательного звена строится в соответствии с выражением

Допустим, что k=1 и будем рассматривать две области частот. В области низких частот << логарифмическая амплитудная частотная характеристика будет иметь вид

,

то есть логарифмическая амплитудная частотная характеристика совпадает с осью частоты. В области высоких частот >> выражение для логарифмической амплитудной частотной характеристики колебательного звена

Асимптотические логарифмические амплитудные частотные характеристики колебательного звена изображены на рисунке 5.15

а) б)

Рисунок 5.15 – Логарифмическая амплитудная частотная характеристика колебательного звена а) при k=1 б) при k>1

На рисунке 5.16 показаны реальные логарифмические амплитудные частотные характеристики колебательного звена для k=1 при различных значениях коэффициента затухания ξ.

Рисунок 5.16 – Логарифмические амплитудные частотные характеристика колебательного звена при различных значениях ξ

Логарифмические фазные частотные характеристики колебательного звена показаны на рисунке 5.17 и вычисляются согласно выражению

Рисунок 5.17 – Логарифмические фазные частотные характеристики колебательного звена