4.4 Частотные характеристики

Если на вход любой системы подать сигнал синусоидальной формы

Очевидно, что выходной сигнал будет иметь ту же форму

Зависимость же между амплитудами и фазами выходного и входного сигналов определяет дифференциальное уравнение движения системы. Возьмем произвольное дифференциальное уравнение, считая помеху равной нулю

Подставим сигналы и в уравнение движения

Найдем отношение выходного сигнала к входному

Заметим, что если вместо подстановки сигналов записать дифференциальное уравнение движения системы в изображениях Лапласа и вновь найти отношение выходного сигнала к входному, то полученная в ходе этого преобразования передаточная функция совпадет с точностью до свободной переменной с частотной передаточной функцией.

Вывод 1: Частотная передаточная функция получается из обычной заменой оператора Лапласа на комплексную частоту , то есть в результате перехода от изображения Лапласа к изображению Фурье.

Вывод 2: дифференциальное уравнение движения системы связывает входной и выходной сигналы (то есть функции времени), передаточная функция связывает изображения Лапласа тех же сигналов, а частотная передаточная функция связывает их спектры.

Частотная передаточная функция может быть представлена в следующих видах

, или ,

где - модуль частотной передаточной функции находится как отношение модулей числителя и знаменателя

- фаза частотной передаточной функции находится как разность аргументов числителя и знаменателя

и - вещественная и мнимая части частотной передаточной функции.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) – это графическое отображение для всех частот спектра отношений выходного сигнала системы автоматического регулирования к входному, представленных в комплексной форме. Величина отрезка от начала координат до каждой точки амплитудно-фазовой частотной характеристики показывает во сколько раз на данной частоте выходной сигнал больше входного, а сдвиг фазы между сигналами определяется углом до этого отрезка (рисунок 4.2).

Рисунок 4.2 – Амплитудно-фазовая частотная характеристика системы автоматического регулирования

Амплитудно-фазовые характеристики типовых динамических звеньев приведены в приложении А

Построение логарифмических частотных характеристик производится по выражениям

где - логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАЧХ);

- логарифмическая фазная характеристика (ЛФЧХ).

Логарифмические частотные характеристики строятся как зависимость модуля и аргумента частотной функции от частоты, но масштаб по оси частот является логарифмическим. Модуль частотной функции изменяется и строится в децибелах

,

где а – коэффициент усиления.

Пусть дана передаточная функция второго порядка, запишем модуль этой функции

выражение для логарифмической амплитудно-частотной характеристики

теперь рассмотрим отдельные члены из этого выражения

(4.4)

На рисунке 4.3 представлен график этой функции в зависимости от .

Рисунок 4.3 – Частотная характеристика элемента первого порядка

Заметим, что на частоте выражение (4.4) имеет значение . Обычно это значение округляют до и говорят, что для сомножителя первого порядка в числителе передаточной функции модуль его частотной функции на частоте излома равен . Если такой сомножитель находится в знаменателе, то модуль его частотной функции равен минус . Кроме того, на частоте модуль частотной функции сомножителя первого порядка в числителе равен . И говорят, что наклон характеристики равен на декаду. Десятикратное увеличение частоты называется декадой, а двукратное увеличение частоты – октавой.

Рассмотрим теперь аппроксимацию частотной характеристики, соответствующей члену первого порядка

Для частот, много меньших частоты излома

а для частот, очень больших в сравнении с

При низких частотах характеристика аппроксимируется прямой линией, совпадающей с осью . При высоких частотах, характеристика аппроксимируется также прямой линией, имеющей наклон на декаду частоты. Прямые линии пересекаются при . Значит кривая асимптотически стремится к прямым линиям (рисунок 4.4) и максимальная ошибка составляет . частота - также называется частотой сопряжения.

Рисунок 4.4 – Аппроксимация частотной характеристики элемента первого порядка

Логарифмические частотные характеристики типовых динамических звеньев приведены в приложении Б.