7 Вопрос

Матричная запись системы линейных уравнений  AX = B,где

     Матрицу A называют матрицей (или основной матрицей) системы. Матрицу

называют расширенной матрицей системы, а матрицу   для которой AС = В, - вектор-решением системы.

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A ^{− 1} — матрицу, обратную к матрице A: 

Так как A ^{− 1}A = E, получаем X = A ^{− 1}B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если det A = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

8 Вопрос Метод Гаусса

Сначала следует привести систему к треугольному (ступенчатому) виду, а затем ступенчато решить.

Формула Крамера.

Подсчитать определитель матрицы А.

Затем матрицей B заменить первый столбец матрицы А, подсчитать определитель и разделить его на detA, так мы получим x₁. То же самое проделать со 2-ым и 3-им столбцом.

9 Билет

10 Вопрос

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрическихуравнений.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается  , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.^[1]

Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.