46 Вопрос Теоремы о пределах
Сформулируем основные теоремы о пределах:
Функция не может иметь более одного предела.
Предположим
противное, т.е. что функция
имеет 2 предела А и D,
.
Тогда на основании теоремы о связи
бесконечно малых величин с пределами
функции:
,
,
где
и
-
бесконечно малые величины при
(
).
Вычитая почленно эти равенства, получим:
,
откуда
.
Это равенство невозможно, т.к. на основании
свойства 1 бесконечно малых
это величина бесконечно малая.
Следовательно, предположение о
существовании второго предела неверно.
Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.Е.
.
Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.Е.
.
По условию
и
,
следовательно, на основании теоремы о
связи бесконечно малых величин с
пределами функции:
,
,
где
и
-
бесконечно малые величины при
(
).
Перемножая почленно оба равенства,
получим:
.
На основании
свойств бесконечно малых последние три
слагаемые представляют величину,
бесконечно малую
при
(
).
Итак, функция
представляет
сумму постоянного числа
и бесконечного малой
.
На основании обратной теоремы о связи
бесконечно малых с пределами функции
это означает, что
.
В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
.
Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.Е.
,
.
Если
,
,
то предел сложной функции
.
Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших )
,
то
.
47 Вопрос Основные приемы вычисления пределов
48 Вопрос
Первый замечательный предел
Функция
не определена при x=0, так как числитель
и знаменатель дроби обращаются в нуль.
График функции изображен на рисунке.
Однако, можно найти предел этой функции при х→0.
Из первого замечательного предела следует эквивалентность при х →0 следующих бесконечно малых величин: ах, sinax; tgax; arcsinax; arctgax. Это означает, что предел отношения двух любых из этих функций при х →0 равен 1.
49 Вопрос Второй замечательный предел
Определение.
Числом
(вторым замечательным пределом) называется
предел числовой последовательности
:
,
где
Прямым
вычислением можно убедиться, что
,
(иррациональное число, число Эйлера).
Если рассмотреть
функцию
,
то при
функция имеет предел, равный числу
:
.
Или если
,
то
.
Непосредственное
вычисление этого предела приводит к
неопределенности
.
Однако доказано, что он равен числу
.
Второй замечательный предел необходимо
всегда использовать при раскрытии
неопределенности вида
.
Число
(число Эйлера, неперово число) играет
важную роль в математическом анализе.
График функции
Рассмотрим примеры
вычисления пределов. Получил название
экспоненты. Широко используются логарифмы
по основанию
,
называемые натуральными. Натуральные
логарифмы обозначаются символом
.
Пример.
.
Пример.
=
.
Пример.
.
Пример.
.
Пример.
.
Пример.
.
Пример.
.