
- •Билет 1 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Доказательство единственности решения
- •Билет 2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения первого порядка.
- •§ 6. Линейное уравнение первого порядка
- •1 Случай.
- •Метод решения Первый способ
- •Второй способ
- •§ 7. Уравнение в полных дифференциалах
- •Определение
- •Сходимость числовых рядов
- •Необходимый признак сходимости ряда
- •Радикальный признак Коши
- •Предельная форма
- •Доказательство
- •Примеры
- •Интегральный признак Коши
Билет 1 Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение вида
|
называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Рассмотрим способы решения некоторых его типов.
Для уравнений вида
|
с заданными граничными условиями доказана теорема существования и единственности.
Пусть
в области D плоскости (x, y) функция f (x, y) и
ее частная производная
непрерывны.
Тогда через каждую точку (x0; y0) этой
области проходит одна и только одна
интегральная кривая.
1. Автономное уравнение
|
Домножим
обе части уравнения на dx и
проинтегрируем обе части получившегося
уравнения:
Таким
образом,
|
2. Уравнение с разделяющимися переменными
|
Это
уравнение сводится к системе
В
первом уравнении после интегрирования
находим y как
неявную функцию от x:
|
3. Однородное уравнение
|
Пусть
Тогда y = zx и
и
|
Задача
сводится к решению уравнения с
разделяющимися переменными,
где F(x) = f(x) – z,
4. Линейное однородное уравнение
|
является
уравнением с разделяющимися переменными
и интегрируется по частям:
откуда
|
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких аргументов, причем в уравнение входят не только сами функции, но и их производные. Если рассматривать функции одного независимого аргумента, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).
Определение. Порядком дифференциального уравнения называется
максимальный порядок входящих в уравнение производных или
дифференциалов от неизвестных функций.
Если уравнение содержит производные первого порядка, то его общий вид
,
(1)
x-независимая переменная
y-неизвестная функция
F-некоторая заданная функция от трех переменных
Функция F может быть определена не во всей области значений её аргумента, а в некоторой области B, которая называется областью задания F.
Решением
уравнения (1)
называется такая функция
,
которая определена на интервале
(возможны
случаи
и
),
что при подстановке данной функции в
(1) мы получаем тождество на всем интервале.
Определение.
Интервал
(a,b)-называется
интервалом
определения решения
и обозначается
.
Подставляя решение
в
(1) мы предполагаем, что на интервале
решение имеет первую производную (то
- есть,
непрерывна),
кроме того, необходимо чтобы выполнялось
условие:
точка с координатами
.
Определение.
Решение
или интеграл дифференциального уравнения,
содержащее число произвольных постоянных
равное порядку дифференциального
уравнения называется общим
решением дифференциального уравнения
и имеет вид
,
где С - любые
постоянные. Выбрав некоторое частное
значение С, мы получаем частное решение.
Решение дифференциального уравнения можно полагать найденным, если оно представлено в виде выражения содержащего квадратуры, т.е. неопределенные интегралы, для которых ответ может быть получен в элементарных функциях или если решение вычислено приближенно.
Решение всегда может быть проверено подстановкой в дифференциальное уравнение.