8 Чувствительность систем управления к изменению параметров

Объект управления, представленный передаточной функцией W(p), какова бы ни была его природа, подвержен влиянию окружающей среды, старению, отсутствию точной информации о его параметрах и других объективных факторов, которые негативно сказываются на его поведении. В разомкнутой системе все эти факторы приводят к отклонению выходной переменной от желаемого значения. Замкнутая система, напротив, чувствует это отклонение, обусловленное изменениями параметров объекта, и пытается скорректировать выходную переменную. Поэтому чувствительность системы управления к изменению параметров есть вопрос первостепенной важности. Основное преимущество систем с обратной связью состоит в их способности снижать чувствительность к изменению параметров.

В случае замкнутой системы, если W(p)>>1 для всех представляющих интерес значений частоты, то из

Ф(р)=W(p)/|1+W(p)| мы имеем Y(p)≈V(p).

Следовательно, мы в точности достигаем желаемого результата, т.е. выход становится равным входу. Однако прежде чем использовать эту идею для построения системы управления, мы должны заметить, что условие W(p)>>1 может привести к тому, что реакция системы будет сильно колебательной или даже к потере системой устойчивости. Но, тем не менее, тот факт, что увеличивая модель функции |W(p)|, мы уменьшаем влияние изменений в W(p) на выходную переменную, является исключительно ценным. Таким образом, важным преимуществом системы с обратной связью является то, что в ней уменьшается влияние изменений параметров объекта управления.

Чтобы проиллюстрировать сказанное выше, рассмотрим случай, когда за счет изменений параметров объекта его передаточная функция приняла выражение . Тогда, если система является разомкнутой, выходная переменная ( в виде изображения по Лапласу) получит приращение

. В замкнутой системе мы имеем .

Отсюда приращение выходной переменной: .

Если , как это часто имеет место, то . (2)

Анализ выражения (2) показывает, что в замкнутой системе изменение выходной переменной уменьшается в [1+W(p)] раз; в свою очередь член [1+W(p)] обычно много больше единицы в представляющем интерес диапазоне комплексной частоты. Сомножитель 1+W(p) играет очень важную роль в определении характеристик систем с обратной связью.

Чувствительность системы определяется как отношение процентного изменения передаточной функции системы к процентному изменению передаточной функции объекта. Система имеет передаточную функцию Ф(р)=Y(р)/V(p), и, следовательно, чувствительность определяется, как .(3)

В пределе, переходя к малым изменениям, (3) приводится к виду: (4)

Чувствительность системы – это отношение изменения ее передаточной функции к изменениям передаточной функции (или параметров) объекта управления при условии их малости.

Из (1а) следует, что чувствительность разомкнутой системы равна единице. Чувствительность замкнутой системы легко можно получить из (4). Замкнутая система имеет передаточную функцию

. Следовательно, ее чувствительность равна

или .(5) Отсюда еще раз видно, что чувствительность замкнутой системы можно сделать меньше, чем ее чувствительность в разомкнутом состоянии, путем увеличения W(p) в представляющем интерес диапазоне частот.

Часто бывает необходимо определить чувствительность , где - параметр передаточной функции W(p). Используя правило дифференцирования сложной функции, можно записать: .

Встречаются также случаи, когда передаточная функция системы Ф(р) имеет вид дроби:

, где - параметр, подверженный изменениям за счет внешних факторов. Тогда чувствительность системы к изменению можно записать, используя выражение (4):

,где - номинальное значение параметра.

Способность уменьшать влияние изменения параметра путем введения обратной связи – одно из положительных качеств замкнутых систем управления. Чтобы добиться высокой точности управления в разомкнутых системах, необходимо очень тщательно подходить к выбору элементов, образующих передаточную функцию W(p). Напротив, замкнутые системы допускают определенные вариации параметров W(p), поскольку их влияние ослабляется в (1+W(p)) раз.

9.Типовые динамические звенья и их характеристики. Усилительное и апериодическое звено.

Типовые (линейные) динамические звенья и их характеристики. Звено - фактически математическая модель элемента, следовательно, элементы, имеющие общие по виду математические модели составляют один класс звеньев. В общем виде звено обычно описывается математической моделью

, (*)

v – вход, y – выход, - const, D – оператор дифференцирования. Среди всех звеньев выделяют наиболее простые (типовые) звенья. Типовые звенья – звенья, описываемые уравнениями не выше 2-го порядка, n≤2 (фактически и m≤2), n – порядок звена.

Усилительное (безинерционное) звено

а) уравнения и передаточные функции. Это статическое звено, описываемое алгебраическим уравнением звена a₀y(t)=b₀v(t), причем a₀>0, b₀>0, получаемиз (*) при n=m=0 . Разделив уравнение на a₀ , получаем уравнение y(t)= v(t)илиy(t)=kv(t),где k = - коэффициент усиления звена. Последнее выражение называют стандартной формой записи уравнения усилительного звена. В общем случае входные и выходные величины имеют различную физическую природу, следовательно, нельзя определенно сказать усиливает звено входную величину или нет, но все равно постоянную k называют коэффициентом усиления. Усилительное звено не инвертирует входной сигнал: k>0. Уравнение звена в изображениях: y(p)=kv(p). По определению W(p)=y(p)/v(p)=k, [k=const].

б) временные характеристики звена. Весовая функция w(t) – оригинал ПФ: . В данном случае - дельта-функция интенсивностью k.

И наче интенсивность – площадь, соответствующая функции :

Переходная характеристика определяется выражением

.

Как видим, величина ступеньки увеличивается в k раз. Статическое звено не изменяет форму входного сигнала, а лишь изменяет его масштаб, без инерции воспроизводит на выходе все изменения входного сигнала.

в ) частотные характеристики. По определению АФХ . Следовательно, для данного звена W(j )= k – точка, расположенная на вещественной оси комплексной плоскости; R( )=U( )=k, V(0)=0, ( )=0 – сдвиг фазы не вносится.

ЛАЧХ данного звена: L( )=20lgR( )=20lgk.

Апериодическое звено 1-ого порядка.

Другое название непериодическое или неколебательное звено. Так называется по виду характеристик. Иногда называют инерционным. Относится к числу динамических звеньев. Все динамические звенья не сразу реагируют на изменение входного сигнала.

а) Уравнение и ПФ. Уравнение получается из (*) при n=1, m=2 (a0D+a1)y(t)=b0v(t),где a0>0, b0>0, a1>0.

Делим это уравнение на a1:(TD+1)y(t)=kv (t) – основное уравнение звена,

где - постоянная времени; - коэффициент усиления звена; T>0 и k>0.

Если y[B]: TDy(t)=T (t)[B]. [B/c], следовательно, T[c] – измеряется в секундах. В состоянии равновесия все производные от входа и выхода равны 0 при y(t)= =const получается, что v(t)= =const. =k ,k= / , где k – коэффициент, связывающий между собой вход и выход звена в состоянии равновесия. Рассмотрим невозбужденное звено и уравнение звена в изображениях: (Tp+1)y(p)=kV(p) Передаточная функция апериодического звена:W(p)=k/(Tp+1)

б) Временные характеристики. w(t)= L^-1[k/(Tp+1)]. Весоваяфункция: w(t) =(k /T).

П ереходная характеристика: h(t)= L^-1[K/(p(Tp+1))]

h(t)=K(1- ), при t≥0(при t<0 сл-но h(t)=0).

h(t)=hуст(t)+hпер(t), где hуст(t)=h(∞) =K - установившееся значение переходной характеристики, hпер(t)= -K

Процесс перехода из 0-ого установившегося состояния в другой переходной процесс. Теоретически он затухает через ∞ промежуток времени.

Практически определяется моментом времени, начиная с которого переходная характеристика.

В общем случае:│h(t)- hуст│<λhуст – допустимая ошибка. λ =0.01÷0.05, обычно λ=0.05

Практически tp=3T при λ=0.05 определяет быстродействие звена, чем выше T, тем выше инерционность звена, чем ниже T, тем инерционность ниже.

в) Частотные характеристики звена. АФХ: W(jω)=W(p) │p=jω

ПФ для апериодического звена W(p)=k/(Tp+1), тогда W(jω)=k/(Tjω +1), при k>0.

Найдем АЧХ звена: R(ω)=k/ Найдем ФЧХ звена: φ(ω)=arctg(ωT)

Э то фильтр низких частот. Полоса пропускания (0, ωв), где ωв=1/T.

В

ω

ωв=1/T

лияние полосы пропускания на быстродействие звена. Т.к. tp=3T практическая длительность переходного процесса, при ошибке 5%, равна tp=3/ ωв. Чем выше полоса пропускания, тем выше быстродействие звена и тем ниже его инерционность.