Вопрос 57. Ошибка по возмущению.

Методика определения установившейся ошибки по возмущению ε_fуст принципиально не отличается от рассмотренных способов определения установившейся ошибки воспроизведения. При типовых возмущающих сигналах вида степенных функций используют теорему о конечном значении, согласно которой

ε_fуст= . (38)

В случае воздействия на систему одного возмущения f(t) с учетом (5) получим

ε_fуст=- . (39)

Если же возмущение f(t) – медленно меняющийся сигнал, представляемый конечным числом слагаемых ряда Тейлора

(40)

то установившаяся ошибка по возмущению вычисляется по формуле

ε_fуст(t)= , (41)

где коэффициенты C’₀, C’₁, C’₂,… представляют собой коэффициенты ошибок по возмущению, определяемые по формуле

(42)

Коэффициенты ошибок по возмущению С’_i в общем случае отличаются от коэффициентов ошибок воспроизведения С_i. Поэтому требует уточнения ранее сформулированное определение статических и астатических систем. Все, что говорилось ранее по данному вопросу, справедливо для систем, астатических по отношению к входному сигналу. Так, если С₀=0, С₁≠0 то система имеет астатизм первого порядка по отношению к входу; если С₀=С₁=0, C₂ ≠0, то система обладает астатизмом второго порядка относительно входного сигнала.

Теперь введем понятие астатизма системы по отношению к возмущению. Системы, для которых С’₀=0, называются астатическими по отношению к возмущению и с астатизмом первого порядка, если ≠0. Такие системы полностью устраняют влияние на управляемую величину в установившемся состоянии постоянных возмущений f(t)=f₀=const (см. рисунок ниже).

Наконец, системой ν_f-го порядка астатизма по отношению к возмущению называется система, для которой

. (43)

58 Робастное качество.

Номинальное качество. Мы показали в лекции 31, что основные требования к качеству замкнутой системы, в рассматриваемом случае к номинальной замкнутой системе, можно записать в виде одного требования

,касающегося взвешенной функции чувствительности. Здесь 1/| | представляет собой допустимую верхнюю границу функции чувствительности |S( )|, соответствующую устойчивой минимально-фазовой ПФ G_S (p), которая выбирается обычно в виде

, причем равна A (типично малая величина ) на низких частотах и равна > 1 на высоких частотах.

Чтобы наглядно представать это требование, запишем его в другом виде

или, что - то же самое .

Вспомним, что есть расстояние от критической точки (-1,j0) до каждой точки, расположенной на АФХ разомкнутой номинальной системы (рис. 13. Условие номинального качества требует, чтобы это расстояние было больше, чем радиус . Для проверки этого условия надо построить окружность с радиусом и центром в точке (-1,j0), и оценить находится

Р ис.13

ли АФХ разомкнутой системы целиком вне пределов этой окружности, причем это надо проделать для всех частот от 0 до (рис. 13) .

Вывод. Критерий номинального качества: АФХ разомкнутой номинальной системы должна располагаться целиком вне окружности радиусом и с центром в точке (-1,j0) для всех частот.

Робастное качество. Для номинального качества требуется, чтобы

. (11)

Но для робастного качества мы требуем, чтобы для всех возможных моделей, принадлежащих множеству моделей П.

Для дальнейшего анализа предположим, что П есть множество ОУ с ПФ , т.е. представляет собой мультипликативную неопределенность. Аналогично можно трактовать множество ПФ возможных разомкнутых систем

Л: = , где = есть ПФ номинальной разомкнутой системы.

Тогда можно определить как множество возможных функций чувствительности для мультипликативной неопределенности.

Для выполнения условий робастного качества требуется, чтобы (12)

для всех возможных реализаций . С учетом выражения для S_p (p) этот критерий робастного качества можно записать в другом виде (13) для всех возможных реализаций .

Рис. 14

Для конкретного значения частоты нужно, чтобы условие (13) выполнялось для модели ОУ, при которой длина вектора является наименьшей. Как видно на рис. 14, длина вектора будет наименьшей в точке A пересечения вектора с окружностью радиусом с центром в т. . Отсюда наименьшая длина вектора равна разности длин векторов и ,

= . (13а)

С ледовательно, критерий робастного качества можно записать как

,

или с учетом (13а)

.

Разделив левую и правую части последнего выражения на , получаем

.

Т.к. S=1/(1+W) и дополнительная функция чувствительности номинальной системы T=W/(1+W), то критерий робастного качества можно записать так

, (14)

или с помощью бесконечной нормы

.

Таким образом, критерий робастного качества является комбинацией критерия робастной устойчивости и критерия номинального качества. Ясно, что для обеспечения робастного качества мы, прежде всего, должны гарантировать номинальное качество (10) и робастную устойчивость (9) .