53 Минимально-фазовые звенья

В общем случае передаточная функция звена ;

где k’=b₀/a₀ - приведенный коэффициент усиления;

; ; .

По теореме Безу: Здесь z_j, - нули ПФ; s_i, - полюса ПФ. Как видим, M(p) и N(p) – приведенные многочлены (коэффициент при старшем члене равен 1).

z_j находятся как корни M(p)=0; W(p)=0

s_i - находятся как корни N(p)=0; W(p)=

Если N и M не содержат общих множителей, то говорят, что z_j и s_i - нули и полюса звена.

Определение: 1.Звено называется минимально-фазовым, если вещественные части всех его нулей и полюсов являются отрицательными или тождественно равными нулю.

2. Звено называется неминимально-фазовым, если оно содержит хотя бы один нуль или полюс с положительной вещественной частью.

Условие минимальной фазности:Re Si≤0, , Re Zj≤0,

Неминимально-фазовые звенья, содержащие полюсы с положительной вещественной частью, называются неустойчивыми звеньями.

Пример. Рассмотрим апериодическое звено с ПФ: , Т>0

Следовательно, имеет полюс S₁=-1/T <0 – минимально-фазовое звено.

Рассмотрим неустойчивое апериодическое звено с ПФ: ;

S₁=1/T >0 – неминимально-фазовое звено.

ЛАЧХ:L( )=La( ) ;L( ) – неустойчивого, La( ) – апериодического звеньев.

ФЧХ неустойчивого звена: ( )=-[π+ ( )], где _a( )= -arctg T

является ФЧХ апериодического звена .

Как видим, | ( )|>| _a( )|, , кроме .

К минимально-фазовому звену из множества звеньев с одинаковыми ЛАЧХ, относится звено с ФЧХ (1)/

Выражение для ФЧХ минимально-фазового звена по теореме Бодэ ( )= , (*)

где =lg , а - малая величина.

Из этого выражения следует, что для минимально-фазового звена:

1. можно найти ( ) по L( );

2. выражение ( ) для ФЧХ при =lg в основном определяется наклоном L( ), т.к. - малая величина.

Условие минимальной фазности позволяет находить W(p) по L( ), и по W(p) находить ( ), особенно просто по асимптотической ЛАЧХ.

Пример. Известна ЛАЧХ минимально-фазового звена. Надо найти W(p).

Т ак как 20lgk=20, следовательно, k=10;

1/T=5, поэтому T=0.2.

ПФ W(p)=10/(0.2p+1),

т.к. звено минимально-фазовое. Отсюда ЛФЧХ

( )=-arctg0.2 .

54. Введение связей по возмущению

В случае, когда возмущающее воздействие можно измерить с помощью датчика, то за счет введения связи по возмущению можно добиться даже абсолютной инвариантности системы к возмущающему воздействию, не затрагивая при этом условия устойчивости.

Структурная сх. системы с обратной связью и со связью по возмущению, описываемой передаточной функцией W₃(p), представлена на рис. 4. Разумеется, передаточная функция связи по возмущению отражает так же динамические свойства датчика, с помощью к. измеряется возмущающее воздействие. Рис. 4 Здесь W_1f(p) - передаточная функция объекта по возмущению,

W₁(p) – - передаточная функция объекта по управлению.

ПФ по возмущению Ф_f(р) для системы на рис. 4, можно найти, положив задающее воздействие равным нулю, т.е. положив v(p)=0, и используя принцип суперпозиции, в силу которого реакцию системы можно рассматривать как сумму реакций на каждый из сигналов f’(p)=W₃(p)f(p) и f’’(p)=W_1f(p)f(p), взятых в отдельности. Отсюда

.

Следовательно,

. (64)

В соответствии с условием (49) абсолютная инвариантность к возмущающему воздействию обеспечивается, если Ф_f(p)=0. Приравнивая к нулю выражение (64), находим передаточную функцию связи по возмущению W₃(p)=-W_1f(p)/W₁(p),(65) обеспечивающую выполнение условия абсолютной инвариантности системы к возмущающему воздействию.

С физической точки зрения нулевую установившуюся ошибку по возмущению, получаемую при этом для каждого вида возмущающего воздействия, можно объяснить следующим образом. При передаточной функции W₃(p), описываемой выражением (65), возмущающее воздействие, пройдя последовательно через связь по возмущению и часть объекта управления с передаточной функцией W₁(p), компенсирует сигнал f’’(p), приложенный к выходу объекта управления и порожденный непосредственным, а не искусственным влиянием возмущения на объект. Во многих случаях условие (65) можно реализовать, так как знаменатель передаточных функций объекта управления W_1f(p)=K_1f(p)/D₁(p), W₁(p)=K₁(p)/D₁(p) оказывается одинаковым и равным D₁(p). При этом из (65) получаем передаточную функцию связи по возмущению

W₃(p)=-K_1f(p)/K₁(p), (66) которая обычно физически осуществима, т.е. степень K₁(p) не ниже степени K_1f(p), так что degK₁≥degK_1f.

Если условие физической осуществимости связи по возмущению, описываемой (65), не выполняется, можно обычно реализовать селективную инвариантность к возмущающему воздействию. В этой связи отметим, что за счет связи по возмущению часто добиваются выполнения условий астатизма системы, т.е. условия абсолютной селективной инвариантности к постоянному возмущающему воздействию. Так как изображение постоянного возмущающего воздействия f(t)=b₀=const равно f(p)=b₀/p, то в соответствии с (43) С’₀=0 условие астатизма по отношению к возмущающему воздействию можно записать в этом случае как

C’₀=-Ф_f(0)=0.

Полагая в (64) р=0 и приравнивая затем полученное выражение к нулю, находим коэффициент усиления связи по возмущению k₃=W₃(0)=-W_1f(0)/W₁(0),

гарантирующий астатизм системы по возмущению для любых значений b₀.

Недостатком приведенной на рис. 4 структурной схемы с точки зрения реализаций условий инвариантности является зависимость передаточной функции W₃(p) от свойств объекта. Вариации параметров передаточной функции объекта управления относительно номинальной модели W₁(p), принятой при расчете передаточной функции W₃(p), приведут к нарушению как абсолютной, так и селективной инвариантности, хотя при соответствующем выборе передаточной функции обратной связи W₂(p) можно в значительной степени ослабить чувствительность системы к изменению параметров объекта управления. Упомянутые вариации параметров обусловлены неточностью, неопределенностью и изменчивостью математической модели объекта управления.