62. Формирование частотных характеристик замкнутой системы

Рассмотрим формирование частотных характеристик замкнутой системы, соответствующих функции чувствительности и дополнительной функции чувствительности, с помощью выбора регулятора (прямой метод проектирования). Функция чувствительности S(p) является хорошим индикатором свойств замкнутой системы управления. Главное ее достоинство состоит в том, что если мы хотим, чтобы она принимала малые значения, то достаточно ограничиться рассмотрением ее модуля |S( )|; нет необходимости беспокоиться об ее фазе. Постановка задачи. Типичные требования к качеству системы в рамках Sвключают в себя:

5. Минимально допустимая полоса пропускания ;

6. Максимально допустимая установившаяся ошибка или порядок астатизма;

7. Вид (форма) |S( )| в выбранной полосе частот;

8. Максимальное значение модуля S, |S( )| .

П оследнее требование предотвращает усиление шума на высоких частотах и вводит запасы робастности. Как правило, выбирают =2. Условие 4 можно записать с помощью нормы как ||S( )|| . норма ПФ W(p) определяется как ||W(p)|| = (см.рисунок ниже). Здесь |c| означает абсолютное значение комплексного числа c. Все эти требования можно аккумулировать (охватить) с помощью определения верхней границы 1/G_s(p) для модуля S, где G_s(p) функция веса, определяемая проектировщиком системы, и как результат все требования записать в виде одного требования |S( )| (1) || || < 1. (2) Последнее условие вытекает из определения нормы и словами его можно выразить следующим образом: норма взвешенной функции чувствительности | | должна быть меньше, чем единица.

Н а рис. 1 как пример показано, что чувствительность |S( )| на некоторых частотах превышает верхнюю границу 1/G_s(p). Поэтому полученная в результате взвешенная функция чувствительности больше единицы на тех же частотах, как видно на рис. 2.

Рис. 1 Рис. 2

Заметим, что обычно не используют логарифмический масштаб для модуля, когда изображают график взвешенной передаточной функции такой, как | |.

Выбор функций веса.Асимптотическая и точная логарифмические частотные характеристики типичной верхней границы представлены на рис. 3. Передаточная функция веса может быть представлена как

и мы видим, что (верхняя граница |S( )|) равна A (типично малая величина ) на низких частотах и равна > 1 на высоких частотах, и асимптота пересекает 1 на частоте , примерно равной требуемой полосе пропускания.

Смешанная чувствительность. Требование || || < 1 определяет нижнюю границу полосы пропускания, но никак не верхнюю и это требование не дает нам возможность установить желаемый наклон ЛАЧХ L( )=20lg|W(j )| за пределами полосы пропускания. Чтобы сделать это, нам потребуется другая ПФ замкнутой системы, а именно, дополнительная функция чувствительности T=1-S=W₁(p)W₂(p)S(p). Например, можно установить верхнюю границу модуля |T(j )|, и тем самым обеспечить требуемое значение максимума дополнительной функции чувствительности, другими словами, показателя колебательностиM системы (обычно M=1.25), и обеспечить достаточно быстрый спад L( ) на высоких частотах (рис. 4)

Рис. 4

Также можно ограничить модуль управления u(p)= W₂(p)S(p)[v(p)-W₁(p)f(p)] с помощью установления верхней границы для |W₂(p)S(p)| (рис. 5), где .

Рис. 5

Чтобы объединить эти требования в «смешанную чувствительность», используют «пакетный метод», в результате получают следующее глобальное требование: ||N|| < 1; .

Nесть вектор и представляет собой обычную евклидову норму

. После выбора вида N находится оптимальный регулятор путем решения задачи минимизации ||N(W₂)|| .

Вопрос № 63 Введение прямой связи

Для повышения качества САУ, в частности точности работы системы в установившемся режиме, наряду с обратной связью, которая является непременным атрибутом систем с одной степенью свободы, используют прямую связь по входному сигналу (по задающему воздействию). При этом

получают закон управления с прямой и обратной связью

,

который приводит к системе с двумя степенями для f=s=0 (см. рисунок ниже).

Здесь - ПФ прямой связи, - ПФ обратной связи, Здесь -ПФ прямой связи, - ПФ обратной связи, -ПФ ОУ. Прямую связь называют также предварительным фильтром (feedforward).

Введение прямой связи в принципе за счет выбора ПФ позволяет добиться выполнения условия (49) абсолютной инвариантности системы к задающему воздействию,

=0, (1)

где -ПФ замкнутой системы по ошибке, (2)

- ПФ замкнутой системы (системы с двумя степенями свободы) по задающему воздействию. Так как условие (1) можно записать в виде =1, (3)

то система с прямой и обратной связью будет абсолютно инвариантной по отношению к задающему воздействию, если мы выберем прямую связь согласно выражению ,

которое можно записать как . (4)

Однако реализовать условие (4) практически не удается. Дело в том, что ПФ ОУ ,

как правило, является строго физически осуществимой, т.е. для нее Следовательно, инверсная ПФ ОУ оказывается физически неосуществимой, отсюда физически неосуществима прямая связь (4) и невозможно реализовать абсолютно инвариантную систему с помощью прямой связи.

Однако аппроксимация ПФ , определяемой (4), в целом ряде случаев позволяет добиться более высокого качества, чем при использовании только одной обратной связи.

В частности можно построить астатическую систему (систему селективно инвариантную к постоянному входному сигналу), не вводя интеграторы в замкнутый контур и тем самым не оказывая влияние на устойчивость системы. Пусть в отсутствие прямой связи, т.е. при =1, система с обратной связью является статической по отношению к задающему воздействию, так что коэффициент статической ошибки

и сама статическая ошибка Введем прямую связь и выберем ПФ

=

Тогда в соответствии с (2) находим

и следовательно, =0, и мы получаем астатическую систему с прямой и обратной связью. Прямая связь является внешней по отношению к замкнутому контуру и не влияет на устойчивость системы, если она сама устойчивая, что можно отнести к достоинствам прямой связи. Однако полученная рассмотренным путем астатическая система не является робастной к изменению параметров ОУ. Изменение передаточной функции ОУ приводит к нарушению условий астатизма в отличие от метода обеспечения астатизма системы путем введения интеграторов в контур управления.

В общем случае система с двумя степенями свободы проектируется вначале как система без прямой связи, т.е. при v(t)=0. Обратная связь выбирается так, чтобы достигнуть должного ослабления влияния возмущающего воздействия, робастности к изменению параметров ОУ и малого усиления шума измерения. Последние два требования связаны с требованием достаточно узкой полосы пропускания системы. Далее мы можем спроектировать прямую связь (предварительный фильтр) так, чтобы расширить полосу пропускания и тем самым лучше воспроизвести изменения в задающем воздействии. Прямую связь можно трактовать как фильтрацию задающего воздействия, и она не влияет на свойства системы с точки зрения ослабления эффекта возмущений и шума измерения.