55. Построение лчх разомкнутой системы. Правила построения лачх. Пример.

(ЛАЧХ) разомкнутой системы определяется как

где и

представляют собой ЛАЧХ отдельного сомножителя и ЛАЧХ интегрирующего звена -го порядка соответственно.

Следовательно, ЛАЧХ разомкнутой системы равна алгебраической сумме логарифмических амплитудно-частотных характеристик интегрирующего звена -го порядка и логарифмических амплитудно-частотных характеристик отдельных сомножителей передаточной функции, причем отдельные слагаемые берутся со знаком «+» или « - » в зависимости от того, где стоит соответствующий сомножитель: в числителе или знаменателе передаточной функции.

Фазо- частотная характеристика разомкнутой системы определяется как

,

где и =- представляют собой ФЧХ отдельного сомножителя и ФЧХ интегрирующего звена -го порядка соответственно.

Как видно, фазо-частотная характеристика разомкнутой системы равна сумме фазо-частотных характеристик интегрирующего звена -го порядка и фазо-частотных характеристик отдельных сомножителей передаточной функции, взятых со знаком «+» или « - » в зависимости от того, стоит ли соответствующий сомножитель в числителе или знаменателе передаточной функции.

При построении фазовой характеристики системы автоматического управления φ(w) вручную предварительно строятся фазовые характеристики для всех сомножителей ПФ, а затем производится сложение их ординат. При этом фазовые характеристики сомножителей, стоящих в числителе ПФ, берутся со знаком «+», а стоящих в знаменателе со знаком « - ».

Амплитудная характеристика L(w) также равна алгебраической сумме амплитудных характеристик отдельных сомножителей передаточной функции. При этом надо учесть, что характеристики, соответствующие сомножителям (1+Тр) и ( ), равны нулю вплоть до сопрягающей частоты. Поэтому при частотах, меньших наименьшей сопрягающей частоты, характеристика L(w) определяется только сомножителем k/p^ν (низкочастотный участок характеристики). После каждой из сопрягающих частот сомножитель, соответствующий этой сопрягающей частоте, будет вносить свой вклад в общую характеристику, изменяя ее наклон на ± 20 дБ/дек или ± 40 дБ/дек, в зависимости от типа сомножителя. Таким образом, можно сформулировать следующее правило построения логарифмической амплитудной частотной характеристики L(w):

1. Приводим ПФ разомкнутой системы к стандартному виду , где W₀(p) – произведение сомножителей типа (Тр+1) или ( ).

2. Определяем сопрягающие частоты всех сомножителей передаточной функции и откладываем их на оси частот.

3. Проводим низкочастотный участок характеристики, представляющий собой прямую с наклоном -20ν дБ на декаду и имеющей при w =1c^-1 ординату 20lgk.

4. После каждой из сопрягающих частот, начиная с наименьшей, изменяем наклон характеристики на ± 20 дБ/дек в случае сомножителя (Тр+1) и на ± 40 дБ/дек в случае сомножителя ( ). Знак «+» или « - » ставим в зависимости от того, находится ли соответствующий сомножитель в числителе или в знаменателе передаточной функции.

Пример: построим характеристику L(w) следящей системы с передаточной функцией

.

Пусть k=100 c^-1, T₃=0.05c, T₂=2c, T₁=20c. Тогда .

Сопрягающие частоты в порядке их возрастания равны: w₁=1/20=0.05c^-1; w₂=1/2=0.5c^-1; w₃=1/0.05=20c^-1.

Так как ν=1 и 20lgk=40 дБ, то низкочастотный участок аb есть прямая с наклоном -20дБ/дек, имеющая при w=1 ординату 40 дБ. Точка b соответствует сопрягающей частоте w₁ сомножителя (1+20р), стоящего в знаменателе. Следовательно, в этой точке наклон характеристики изменится на -20дБ/дек, и участок bc будет иметь наклон -40дБ/дек. Аналогичным образом определяется изменение наклона в точках c и d.

Частота w_c, при которой характеристика L(w) пересекает ось абсцисс, называется частотой среза. Так как L(w_c)=20lgR( w_c)=0, то R(w_c)=1. Следовательно, частота среза - это такая частота, при которой модуль амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы равен единице.

Фазовая частотная характеристика определяется из выражения φ(w )=-π/2-arctg wT₁ - arctg w T₃+arctg w T_2.