41. Критерий Найквиста для случая неустойчивой разомкнутой системы.

Такой случай может встретиться при рассмотрении систем, содержащих неустойчивые звенья или неустойчивые замкнутые контуры.

Пусть характеристическое уравнение разомкнутой системы D(р) имеет l корней в правой полуплоскости.

Тогда изменение аргумента D(j) будет равно: .

Если замкнутая система устойчива, то .

При этом в соответствии с тем, изменение аргумента f(j) равно разности изменений аргументов числителя Д(j) и знаменателя D(j) .

Следовательно, кривая при изменении  от 0 до ∞ должна охватывать начало координат l/2 раз, а АФХ разомкнутой системы должна охватывать точку с координатами (-1,j0) l/2 раз.

Вывод. Если разомкнутая система является неустойчивой, то замкнутая система будет устойчивой при условии, что АФХ разомкнутой системы охватывает точку с координатами (-1,j0) l/2 раз в положительном направлении, где l – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости (правых корней).

На рис. ниже приведена АФХ W(j) устойчивой системы для случая, когда характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет два корня с положительной вещественной частью (l=2).

Применительно к диаграмме Найквиста этот критерий звучит так: Если разомкнутая система является неустойчивой, то замкнутая система будет устойчивой при условии, что диаграмма Найквиста охватывает точку с координатами (-1,j0) l раз в положительном направлении, где l – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости (правых корней).

На рис. 11.1 приведена диаграмма Найквиста устойчивой системы для случая, когда характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет два корня с положительной вещественной частью (l=2).

42. Линеаризация математической модели бака с жидкостью.

м ожно исследовать процесс линеаризации объекта управления в виде бака с жидкостью, описываемого нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка

Обозначим через q, [ ] –расход поступающей в бак жидкости (скорость поступления), g(h)= , [ ]– расход вытекающей жидкости (скорость вытекания). Тогда изменение объема жидкости в баке за малый промежуток времени составит . Это приведет к такому же изменению объема жидкости в баке , выраженному посредством изменения уровня жидкости и площади поперечного сечения бака S[ ]. В соответствии с законом сохранения вещества имеем или . Считая площадь поперечного сечения бака равной единице и устремляя , получаем модель бака в виде нелинейного дифференциального уравнения первого порядка

или

.

Здесь выход h, [м] - уровень жидкости в баке, c, [ ] - постоянная. Полагая , находим уравнение статики или . Последнее уравнение описывает статическую характеристику бака (см. рисунок ниже).

Определяя c учетом уравнения бака и уравнения (6) коэффициенты

находим линеаризованное уравнение бака

или

где k=T- коэффициент усиления линейного элемента. Если то определяет уравнение статики для линеаризованного бака. Из рисунка выше видно, что оно аппроксимирует достаточно хорошо статическую характеристику нелинейного элемента при достаточно малых отклонениях от состояния равновесия. Также отметим, что значение k, , следовательно, значение T, [с] зависят от положения рабочей точки. Это говорит о том, что линеаризованная модель отражает существенные свойства нелинейного элемента.