25. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

В теории автоматического регулирования были разработаны правила, которые позволяют судить об устойчивости системы, минуя вычисление корней. Эти правила называются критериями устойчивости. С помощью критериев устойчивости можно не только судить об устойчивости системы, но и выяснить влияние тех или иных параметров и элементов схемы на устойчивость.

Для того чтобы судить об устойчивости, нужно определить, имеет ли характеристическое уравнение корни с положительной вещественной частью. О наличии корней с положительной вещественной частью можно судить по коэффициентам характеристического уравнения. Правила, по которым можно определить, имеет ли система корни с положительной вещественной частью, были формулированы независимо друг от друга английским математиком Раусом (1887) и швейцарским математиком Гурвицем (1895) и получили название критериев Рауса и Гурвица.

Приведем без доказательства формулировку критерия Гурвица.

Пусть дано характеристическое уравнение замкнутой системы

Для суждения об устойчивости системы по критерию Гурвица из коэффициентов этого уравнения составляется определитель порядка n, называемый главным определителем Гурвица.

Главный определитель Гурвица образуется следующим образом. По главной диагонали выписываются коэффициенты уравнения, начиная со второго (а₁) до последнего (а_n) включительно. Столбцы вверх от главной диагонали заполняются коэффициентами по возрастающим индексам, а столбцы вниз - коэффициентами по убывающим индексам. Остающиеся пустые места заполняются нулями.

Критерий Гурвица гласит: система устойчива, если а₀ и все определители положительны, причем

и т.д. Т.е. если .

Нетрудно убедиться, что все эти определители образуются из главного определителя Гурвица путем последовательного вычеркивания столбцов и строк.

Если главный определитель равен нулю, то система находится на границе устойчивости. Так как =а₀ , то это возможно в двух случаях:

1) a_n=0,

2) =0,

В первом случае говорят об апериодической границе устойчивости, во втором – о колебательной границе устойчивости.

26. Правила преобразования структурных схем.

Последовательное соединение - это соединение, при котором выходная величина каждого предыдущего звена является входом последующего. Рассмотрим соединение двух звеньев N=2: y₁=W₁v₁; y₂=W₂v₂ (3);

Для последовательного соединения уравнения связи и уравнение выхода имеют следующий вид

v=v₁; v₂=y₁; y₂=y. Здесь v – вход и y –выход поседовательного соединения звеньев. Построим структурную схему этого соединения, представленную ниже

Найдем W – ПФ звена, эквивалентного последовательному соединению.

Т.к. ; W₁=y₁/v₁; W₂=y₂/v₂, то W=W1*W2

Вывод: Передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению передаточных функций звеньев, образующих это соединение. Для последовательного соединения N звеньев:

W=W₁*W ₂*…*W_n=

2 . Параллельное соединение – входная величина соединения поступает на несколько звеньев, а выходные сигналы этих звеньев суммируются. Пусть 2 звена описываются уравнением y₁=W₁v₁; y₂=W₂v₂ (3), уравнение связи v=v₁=v₂, уравнение выхода y=y₁+y₂. Построим структурную схему параллельного соединения звеньев.

Найдем ПФ параллельного содинения звеньев: W=y/v=(y₁+y₂)/v=y₁/v + y₂/v=W₁+W₂ .

Следовательно, передаточная функция параллельного соединения звеньев равна сумме передаточных функций звеньев, входящих в соединение: W=W1+W2

Для параллельного соединения N звеньев: W=W1+W2+…+Wn=

3. Соединение звеньев с ОС. Пусть 2 звена описываются уравнением y₁=W₁v₁; y₂=W₂v₂ (3). Для соединения с обратной связью уравнения связи v₁=v (±)y₂; v₂=y₁=y.

Здесь (-) – ООС; (+) – ПОС. Построим структурную схему соединения с обратной связью.

W ₁ – ПФ прямой связи, W₂ – ПФ обратной связи. Найдем ПФ соединения с обратной связью:

Отсюда ПФ соединения с обратной связью имеет вид W=W1/(1+-W1W2). Здесь знак – соответствует положит ОС, знак + соответствует отрицательной ОС. В ряде случаев называют W – ПФ замкнутого контура.

Для получения ПФ разомкнутого контура разрывают ОС: получается последовательное соединение двух звеньев Wp=W1*W2 – ПФ разомкнутого контура. Если W₂=1, то назыв соединение звеньев с единичной ОС.

4. Перемещение элементов суммирования. а) на выход звена (по ходу сигнала)

y=W(v₁+v₂)=Wv₁+Wv₂ .

б) на вход звена (против хода сигнала)

y=Wv₁+v₂ =W(v₁+ 1/W *v₂).

5. Перемещение точек съема. а) на выход звена (по ходу сигнала) б) на вход звена (против хода сигнала)

6. Перестановка элементов суммирования и точек съема

а) перестановка элементов суммирования б) перестановка точек съема

v₄ = (v₁ –v₃)-v₂ = (v₁-v₂) –v₃

Алгоритм преобразования структурной схемы: 1) Развязать перекрещивающиеся контуры ОС (правила 4-6). Рекомендация: как правило, переносят элементы суммирования против хода сигнала, а точки съема по ходу сигнала.

2) Заменить каждое из соединений звеньев одним звеном с эквивалентной ПФ (правила 1-3).

3) Переносим элемент суммирования 2 на вход звена W1, а затем меняем местами 1-ый и 2-ой элементы суммирования.

4 ) Переместим точку съема «а» на выход звена W4, а затем поменяем местами точки «а» и «б».

При этом получаем преобразованную структурную схему: Используя правила (1) и (3), находим

W8=W1*W2/(1+W1*W2*W5);

W9=W3*W4/(1+W3*W4*W6);

W10=W7/(W1*W4).

Ф =y/v=W8*W9/(1+W8*W9*W10)