43. Достаточное условие экстремума дифференцируемой функции.

Достаточным условием экстремума дифференцируемой функции является смена знака производной. Если в точке х₀ производная меняет знак с минуса на плюс, т.е. ее убывание сменяется возрастанием, то точка х₀ будет точкой минимума. Напротив, точка х₀будет точкой максимума, если производная меняет знак с плюса на минус, т.е. переходит от возрастания к убыванию.

Точка, где производная функции равна нулю, называется стационарной. Если исследуется на экстремум дифференцируемая функция, то следует найти все ее стационарные точки и рассмотреть знаки производной слева и справа от них.

44. Экстремум функции не дифференцируемой в данной точке.

45. Интервалы возрастания и убывания функции. Критерии монотонности.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на (a,b),и имеет в каждой точке производную f'(x). Тогда

f возрастает на (a,b) тогда и только тогда, когда

f убывает на (a,b) тогда и только тогда, когда

46. Выпуклость и точки перегиба.

Функция f ( x ) называется выпуклой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x₀ , f ( x₀ ) ), x₀ ( a, b)

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x₀ существует вторая производная f '' ( x₀ ), то f '' ( x₀ ) = 0.Рассмотрим график функции y = x³:

Эта функция является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. x = 0 является точкой перегиба функции y = x³.

47. Необходимое, достаточное условие перегиба.

Необходимые условия наличия перегиба

либо не существует.

Достаточные условия наличия перегиба

1. Если меняет знак при переходе через точку x₀, то x₀ - точка перегиба.

2. Если то при n четном x₀ - точка перегиба, при n нечетном x₀ не является точкой перегиба.

48. Вертикальные и наклонные асимптоты.

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Вертикальной асимптотой графика функции называется вертикальная прямая , если или при каком-либо из условий: , ,