24.3 Основные теоремы о дифференциалах
Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции (dy=f'(x)dx) и соответствующие теоремы о производных.
Например, так как производная функции у=с равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю: dy=с'dx=0•dx=0.
Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:
Докажем, например, вторую формулу. По определению дифференциала имеем:
d(uv)=(uv)'dx=(uv'+vu')dx=vu'dx+uv'dx=udv+vdu
Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.
Пусть у=ƒ(u) и u=φ(х) две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию у=ƒ(φ(х)). По теореме о производной сложной функции можно написать
у'х=у'u•u'x.
Умножив обе части этого равенства на dx, поучаем у'хdx=у'u•u'хdx. Но у'хdx=dy и u'хdx=du. Следовательно, последнее равенство можно переписать так:
dy=у'udu.
Сравнивая формулы dy=у'х•dx и dy=у'u•du, видим, что первый дифференциал функции у=ƒ(х) определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.
Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.
Формула dy=у'х•dx по внешнему виду совпадает с формулой dy=у'u•du, но между ними есть принципиальное отличие: в первой формуле х — независимая переменная, следовательно, dx=∆х, во второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря, du≠∆u.
С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.
Например: d(cosu)=(cosu)'udu=-sinu•du
24.4. Таблица дифференциалов
24.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α•∆х. Отбрасывая бесконечно малую α•∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство
∆у≈dy, (24.3)
причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.
Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.
Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике.
<< Пример 24.3
Найти приближенное значение приращения функции у=х3-2х+1 при х=2 и ∆х=0,001.
Решение: Применяем формулу (24.3): ∆у≈dy=(х3-2х+1)'•∆х=(3х2-2)•∆х.
Итак, ∆у 0,01.
Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем ∆у:
∆у=((х+∆х)3-2(х+∆х)+1)-(х3-2х+1)=х3+3х2•∆х+3х•(∆х)2+(∆х)3-2х-2•∆х+1-х3+2х-1=∆х(3х2+3х•∆х+(∆х)2-2);
Абсолютная погрешность приближения равна
|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.
Подставляя в равенство (24.3) значения ∆у и dy, получим
ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ'(х)∆х
или
ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ'(х)•∆х. (24.4)
Формула (24.4) используется для вычислений приближенных значений функций.
<< Пример 24.4
Вычислить приближенно arctg(1,05).
Решение: Рассмотрим функцию ƒ(х)=arctgx. По формуле (24.4) имеем:
arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)'•∆х,
т.
е.
Так как х+∆х=1,05, то при х=1 и ∆х=0,05 получаем:
Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) не превышает величины М•(∆х)2, где М — наибольшее значение |ƒ"(х)| на сегменте [х;х+∆х].
<< Пример 24.5
Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04 с от начала падения. Уравнение свободного падения тела
H=gлt2/2, gл=1,6 м/с2.
Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04 с от начала падения. Уравнение свободного падения тела
H=gлt2/2, gл=1,6 м/с2.
Решение: Требуется найти H(10,04). Воспользуемся приближенной формулой (ΔH≈dH)
H(t+∆t)≈H(t)+H'(t)•∆t. При t=10 с и ∆t=dt=0,04 с, H'(t)=gлt, находим
Задача (для самостоятельного решения). Тело массой m=20 кг движется со скоростью ν=10,02 м/с. Вычислить приближенно кинетическую энергию тела
