16. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Построим интерполяционный многочлен на отрезке [x₀;x_n] при этом график интерполяционного многочлена должен проходить через все заданные точки. Запишем искомый многочлен в виде (x) = a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ. Из условия равенства значение этого многочлена в узлах x_i соответствующим заданным значениям x_i = y_i получим систему уравнений для нахождения коэффициентов a₀, a₁ … a_n:

a₀+a₁x₀+a₂x₀²+…+a_nx₀ⁿ = y₀

a₀+a₁x₁+a₂x₁²+…+a_nx₁ⁿ = y₁

……………

a₀+a₁x_n+a₂x_n²+…+a_nx_nⁿ = y_n

Решив эту систему, при условии что x_i  x_j если ij, найдем коэффициенты многочлена Лагранжа, но этот путь требуется большого объема вычислений. Существует более простой алгоритм построения интерпалиционного многочлена. Искать его в виде линейной комбинации многочленов в степени n. Y(x) = y₀L₀(x)+y₁L₁(x)+…+y_nL_n(x). При этом каждый многочлен обращается в 0 во всех узлах интерполяции за исключением I, где он должен =1. таким условиям отвечает многочлен вида: L₀(x) = (x-x₁)*(x-x₂)*…*(x-x_n) / (x₀-x₁)*(x₀-x₂)*…*(x₀-x_n). подставим это выражение в условие Y(x) = y₀L₀(x) + y₁L₁(x) + …+ y_nL_n(x) получим: L(x) = y_i(x-x₀)*(x-x₁)*…*(x-x_i-1) *(x-x_i+1) … (x-x_n) / (x_i-x₀)*(x_i-x₁)*… *(x_i-x_i-1) *(x_i-x_i+1) … (x_i-x_n). Из данной формулы можно получить выражение для линейной n=1 и n=2 квадратичной интерполяции:

Z₁= (x-x₁ / x₀-x₁)* y₀ + (x-x₀/x₁-x₀)*y₁

Z₂ = ((x-x₁)(x-x₂) / (x₀-x₁)(x₀-x₂))* y₀ + ((x-x₀)(x-x₂)/(x₁-x₀)(x₁-x₂))*y₁ + ((x-x₀)(x-x₁)/(x₂-x₀)(x₂-x₁))*y₂

17. Интерполяционные формулы Ньютона.

Рассмотрим случай равноотстоящий значений аргумента x_i-x_i-1=h=const, где h- шаг, i = 1,2,3,…,n. Пусть известны значения функции в узлах f(x_i)=y_i. Составим разноси значений функции:

∆y = y₁-y₀ = f(x₀+h)-f(x₀)

∆y₁ = y₂-y₁ = f(x₀+2h)-f(x₀+h)

∆y₂ = y₃-y₂ = f(x₀+3h)-f(x₀+2h)

-//-//-//-//

∆²y₀ = ∆y₁-∆y₀

∆²y₁ = ∆y₂-∆y₁. Конечные разности

∆²y = ∆y₁-∆y₀ = (y₂-y₁)-( y₁-y₀) = y₂-2y₁+y₀

∆³y = ∆²y₁-∆²y₀ = y₃-3y₂+3y₁-y₀

Интерполяционный многочлен Ньютона: N(x) = y₀+(∆y₀/h)(x-x₀)+((∆²y₀)/(2!h²))(x-x₀)*(x-x₁)+((∆³y₀)/(3!h³))(x-x₀)*(x-x₁)*(x-x₂) … ((∆^hy₀)/(h!h^h))(x-x₀)*…*(x-x_n-1)

Эту формулу можно представить в любом виде введя переменную: t= x-x₀/h

N(x₀+th) = y₀+t∆y₀+((t(t-1))/(2!))* ∆²y₀+((t(t-1)(t-2))/(3!))* ∆³y₀ + … +((t(t-1)(t-2)…(t-n+1))/(n!))* ∆ⁿy₀

Полученное выражение может аппроксимировать функцию на отрезке (x₀;x_n). Для повышения точности расчетов многочлен Ньютона записывают в виде 2х формул:

1. Интерполирование вперед: N(x_i+th) = y_i+t∆y_i+((t(t-1))/(2!))* ∆²y_i+ … +((t(t-1)’(t-1)…(t-n+1))/(n!))* ∆ⁿy_i

2. Интерполирование назад: N(x_n+th) = y_n+t∆y_n-1+((t(t+1))/(2!))* ∆²y_n-1+ … +((t(t+1)(t+2)…(t+n-1))/(n!))* ∆ⁿy₀

18. Задачи численного интегрирования.

I = ^b_a f(x) dx

I = ^b_a f(x) dx = f(b) – f(a) – формула Ньютона-Лейбица.

Часто первообразную не удается выразить через элементарные функции, функция f(x) может быть заданна не в виде формулы, а в виде табличных значений. Возникает потребность в численным вычислением интеграла. Процесс численного определения интеграла называется квадратурой, а формулы, по которой интеграл вычисляется квадратурными.