19. Интегрирование методами левых, правых и средних прямоугольников
1. формула левых прямоугольников: I = ba f(x) dx (b-a)*n-1i=0 1/n*fi
2. формула правых прямоугольников: I = ba f(x) dx (b-a)*ni=1 1/n*fi
3. формула средних прямоугольников: I lim ni=1 hif(ξi)
ba f(x) hni=0y(x1+h/2)
20. Формула трапеций.
ba f(x)dx h/2(y0+y1)
криволинейная трапеция заменяется трапецией, а под интегральная функция заменяется интерпаляционым многочленом Лагранжа 1ой степени. Линейная интерполяция: ba f(x)dx ((b-a)/h)/((y0+yn)/2)+y1+y2+…+yn-1
21. Формула Симпсона.
Если заменить график функции f(x) на каждом участке отрезка дугами парабол, то получим формулу для вычисления интеграла ba f(x) dx более точную, чем формула прямоугольников и трапеций.
Формула Симпсона ba f(x) dx ((a-b)/bh)/((y0+y2n)+4(y1+y3+…+y2n-1)+2(y2+y4+…+y2n-2))
Формула дает точное значение интеграла в тех случаях, когда f(x) многочлен, степень которого меньше или равно 3, т.к. в этом случае производная 4 порядка = 0.
22. Квадратурные формулы Гаусса.
Рассмотрим способ представления квадратных формул состоящих в пред-ии интеграла как линейной комбинации значения под интегральной функции и ее производных в некоторых узлах xi по следующим определениям неизвестных коэффициентов. Строим квадратурную формулу следующего вида: I = ba f(x) dx (a-b) [A1f(a) + A2f(b) + A3f’(a)
+ A4f’(b)] Ai(i= 1,2,3,4) весовым множества.
Определим весовые множества так, что бы формула была точной для производных многочленов нулевой первой второй и третьей степеней. Это условие будет выполняться, если оно выполняется для многочленов: 1, x2, x2, x3. подставляем эти многочлены вместо f(x) в формулу получим систему линейных уравнений относительно Ai. Решив систему находим A1=A2=1/2 ; A3=A4=(b-a)/12. Квадратурная формула Гаусса:
I = ba f(x) dx (a-b) [(f(a)+f(b))/2 + (b-a)* (f’’(a)-f’’(b))/12]
23. Постановка задачи численного решения д.У.
Простейшим обыкновенным ДУ явл. ур. первого порядка, разрешённое относительно производной: y’=f(x,y). Основная задача, связанная с этим ур., известна как задача Каши: найти решение ур. в виде ф-и y(x), удовл. нач. условию y(x0)=y0. Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую y=y(x), проходящую через заданную точку M0(x0,y0) при выполнении равенства.
24. Метод Пикара решения д.У.
Позволяет получить приближённое знач. ДУ y’=f(x,y) в виде ф-и, представленной аналитически. Пусть в условиях теоремы существования требуется найти решение уравнения y’=f(x,y) с начальным условием y(x0)=y0. Проинтегрируем обе части уравнения y’=f(x,y) от х0 до х или
Решение ИУ будет удовлетворять ДУ и начальному условию. При х=х0 получим:
ИУ позволяет позволяет применить метод последовательных приближений. Будем рассматривать правую часть ф-лы как оператор, отображаущий всякую ф-ю в другую ф-ю того же класса
Если этот опратор является сжимающим, то можно строить последовательность приближений, сходящуюся к точному решению. В качестве начального приближения принимается y=(x)=y0, и находится первое приближение
Интеграл в правой части содержит только переменную х, после нахождения этого интеграла будет получено аналитическое выражение приближения y1(x) как ф-и переменной х. Далее заменим в правой части ур. у найденным значением y1(x) и получим второе приблидение
и т.д. В общем случае итерационная формула имеет вид
Циклическое применение формулы даёт последовательность ф-й y0 y1 yn сходящуюся к решению интегрального уравнения (6.7) (а, следовательно, и дифференциального уравнения (6.1) с начальными условиями (6.2)). Это также означает, что к-й член последовательности (6.9) является приближением к точному решению уравнения (6.1) с определенной контролируемой степенью точности. Оценка погрешности k-го приближения дается формулой
где y(x)- точное решение N определяется равенстовом, M-константа Липшица из неравентсва