- •1. Случайные события, их классификация. Понятие вероятности.
- •2. Алгебра случайных событий, диаграммы Вьенна-Эйлера.
- •7. Формула полной вероятности.
- •8. Формула Байеса.
- •9. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.
- •10. Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина, способы ее задания: ряд распределения.
- •18. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины и их свойства (без доказательства).
- •19. Начальные и центральные моменты.
- •2 0. Равномерный закон распределения: плотность и функция распределения, основные числовые характеристики.
- •21. Показательный закон распределения: плотность и функция распределения, основные числовые характеристики.
- •22. Поток событий. Простейший поток. Распределение промежутка времени между последовательными событиями простейшего потока.
- •24. Функция Лапласа и ее свойства. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило «трех сигм».
- •25. Неравенство Чебышева. Понятие о законе больших чисел. Теорема Чебышева (без док-ва). Теорема Бернулли (без док-ва).
- •26. Центральная предельная теорема (без док-ва). Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •27. Двумерные случайные величины, формы задания закона распределения.
- •28. Характеристики двумерной случайной величины: математическое ожидание и дисперсия компонент.
- •29. Зависимость случайных величин. Корреляционный момент и коэффициент корреляции, их свойства.
- •30. Предмет математической статистики. Генеральная совокупность, выборка, ее свойства.
- •31. Статистический и интервальный ряды распределения.
- •32. Выборочные аналоги функции распределения и функции плотности. Полигон, гистограмма, кумулята.
- •33. Свойства точечных оценок числовых характеристик и параметров распределения.
- •34. Точечная оценка математического ожидания и ее свойства.
- •35. Точечная оценка дисперсии, несмещенная оценка дисперсии.
- •36. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.
- •37. Интервальные оценки параметров распределения.
- •38. Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения.
1. Случайные события, их классификация. Понятие вероятности.
Случайное событие – событие, которое в условиях опыта оно может произойти, а может и не произойти. Причем заранее неизвестно, произойдет оно или нет.
Два события несовместны, если появление одного из них исключает появление другого в том же опыте.
Теория вероятностей изучает закономерности, присущие массовым случайным явлениям. Основные понятия теории вероятностей были заложены в переписке Паскалем и Ферма. Эти понятия зародились в результате попыток математически описать азартные игры.
2. Алгебра случайных событий, диаграммы Вьенна-Эйлера.
Сумма событий А и В называется такое событие, которое происходит, когда происходит либо А, либо В, либо оба события.
Произведением А и В называется событие, которое происходит, если в опыте происходят оба события.
Событием Ā, противоположное событию А называется событие, которое происходит всякий раз, когда не наступает событие А.
A\B (дополнение А до В) – происходит А, но не происходит В
3. Классическое определение вероятности. Комбинаторика.
– классическое определение вероятности.
m – общее число исходов
n – число исходов, благоприятствующих наступлению события А..
Комбинаторика – раздел математики, изучающий расположение объектов в соответствии со специальными правилами и подсчитывает количество способов таких расположений. Комбинаторика возникла в 18 веке. Рассматривается как раздел теории множеств.
4. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
Аксиома 1. «аксиома неотрицательности» P(A)≥0
Аксиома 2. «аксиома нормированности» P(Ω)=1
Аксиома 3. «аксиома аддитивности» Если события А и В несовместны (АВ=Ø), то P(A+B)=P(A)+P(B)
5. Теорема о вероятности суммы событий.
Для любых событий Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) (док-во в лекции)
6. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теоремы о вероятности произведения событий.
Р(А|В) – вероятность события А, если событие В уже произошло – условная вероятность.
Событие А называют независимым, от события В, если вероятность события А не меняется в зависимости от того, происходит или нет событие В.
Теорема умножения вероятностей: Р(АВ) = Р(А|В)·Р(В) = Р(В|А)·Р(А)
Теорема умножения вероятностей независимых событий: Р(АВ) = Р(А)·Р(В)
По определению условной вероятности,
7. Формула полной вероятности.
Е сть события Н1, Н2,….,Нn попарно несовместные и образуют полную группу. Такие события называют гипотезами. Пусть есть некоторое событие А. А=АН1+АН2+…+АНn (слагаемые этой суммы попарно несовместны).
8. Формула Байеса.
Н 1, Н2,….,Нn A
9. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.
Пусть проводится конечное число n последовательных испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может либо наступить «успех», либо не наступить «неудача», причем эти испытания удовлетворяют следующим условиям:
Каждое испытание случайно относительно события А .т.е. до проведения испытания нельзя сказать, появится А или нет;
Испытания проводятся в одинаковых с вероятностной точки зрения условиях, т.е. вероятность успеха в каждом отдельно взятом испытании равна р и не меняется от испытания к испытанию;
Испытания независимы, т.е. исход любого из них никак не влияет ни исходы других испытаний.
Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли или биноминальной схемой, а сами испытания – испытаниями Бернулли.
Для расчета вероятности Рn(к) того, что в серии из n испытаний Бернулли окажется ровно k успешных, применяется формула Бернулли: (k = 0,1,2,…n).