- •Понятие математической модели.
- •Устойчивость.
- •Типы погрешностей.
- •Приближенные числа. Абсолютные и относительные погрешности.
- •Округление.
- •Погрешности арифметических операций над приближенными числами.
- •Погрешность функции.
- •Представление вещественных чисел.
- •Арифметические операции над числами с плавающей точкой.
- •Вычисление машинной точности.
- •Методы отыскания решений нелинейных уравнений.
- •Система линейных алгебраических уравнений.
- •Вычисление lu-разложения (метод Гаусса).
- •Вычисление luр-разложения (метод Гаусса с выбором ведущего элемента).
- •Система линейных алгебраических уравнений.
- •Метод прогонки.
- •Система линейных алгебраических уравнений.
- •Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •Одномерная минимизация.
- •Методы прямого поиска.
- •Оптимальный пассивный поиск.
- •Постановка задачи приближения функций.
- •Полиномиальная интерполяция. Многочлен Лагранжа.
- •Минимизация погрешности оценки интерполяции. Многочлены Чебышева. Постановка задачи минимизации оценки погрешности.
- •Многочлены Чебышева.
- •Постановка задачи приближения функций. В13
- •16 Глобальные способы построения кубических сплайнов.
- •17 Граничные условия для кубических сплайнов
- •Метод наименьших квадратов.
- •Методы численного дифференцирования. Численное дифференцирование.
- •Устойчивость.
- •Адекватность дискретной модели исходной математической задаче;
- •Сходимость численного решения к точному решению;
- •Устойчивость выбранного метода решения.
- •Численное интегрирование. Формулы прямоугольников и трапеций/Формула Симпсона
- •Методы Монте-Карло.
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения. Метод Эйлера.
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Методы прямого поиска.
Ряд методов минимизации основан на сравнении значений функции f , вычисляемых в точках х1, х2 … хп . Эти методы часто называют методами прямого поиска, а точки xi - пробными точками.
Будем считать, что требуется найти приближение к точке минимума унимодальной на отрезке [a, b] функции f . Предположим также, что число пробных точек п заранее фиксируется и за приближение к точке минимума принимается одна из этих точек.
Оптимальный пассивный поиск.
Задается правило вычисления сразу всех пробных точек х1, х2 … хп и за принимается та точка хк, для которой . Оценим погрешность этого метода. Для удобства примем х0 = а, xп+1 = b. В силу выбора точки = хк справедливы неравенства f (xk-1) > f (xk) и f (xk) > f (xk+1) . В силу свойства 3 унимодальной функции следует, что . Значит,
- xk max{| xk - xk-1 | , | xk+1 - xk| } .
Так как положение точки минимума заранее неизвестно, то для справедлива следующая гарантированная оценка погрешности:
.
Можно показать, что величина, стоящая в правой части неравенства, станет минимальной, если точки х1, х2 … хп расположить на отрезке [a,b] равномерно в соответствии с формулой хi = a + ih , где h=(b-a) / n. Метод с таким выбором пробных точек называется оптимальным пассивным поиском.
13
Постановка задачи приближения функций.
…………
На практике постоянно приходится сталкиваться с вычислением значения функции y = f(x). Для элементарных, а также основных специальных функций алгоритмы вычисления включены в математическое обеспечение ЭВМ. Однако встречаются ситуации, когда непосредственное вычисление затруднено либо приводит к слишком большим затратам машинного времени. Укажем на некоторые типичные ситуации:
Функция f задана таблицей своих значений
yi = f(xi), i = 0, 1, 2, … , n, (27)
а вычисления проводятся в точках хi, не совпадающих с табличными.
Непосредственное вычисление значения y = f(x) связано с проведением сложных расчетов и приводит к значительным затратам машинного времени, которые могут оказаться неприемлимыми, если функция f вычисляется многократно.
При заданном значении х значение f(x) находится из эксперимента. Такой способ вычисления в большинстве случаев нельзя использовать в вычислительных алгоритмах, т.к. он связан с необходимостью прерывания вычислительного процесса для проведения эксперимента. Исключение представляет случай, когда ЭВМ используется для управления технологическим процессом, сложной технической системой или включена в систему обработки и планирования физического эксперимента. Как правило, однако, экспериментальные данные получают до начала вычислений на ЭВМ. Нередко они представляют собой таблицу типа (27) с тем отличием, что табличные значения yi* отличаются от истинных значений yi, т.к. заведомо содержат ошибки эксперимента.
Возникающие проблемы часто решают следующим образом. Функцию f(x) приближенно заменяют другой функцией g(x), вычисляемые значения которой и принимают за значения f(x). Такая замена оправданна лишь тогда, когда значения g(x) вычисляются быстро и надежно, а погрешность приближения f(x) - g(x) достаточно мала.
В каждом конкретном случае при выборе постановки задачи приближения и метода ее решения приходиться сталкиваться со следующими проблемами:
Необходимо решить, какую информацию о функции f можно использовать как входные данные для вычисления приближения g. Например, часто известна или может быть получена таблица значений функции, а иногда - и таблица ее производных.
Полезно иметь некоторую дополнительную априорную информацию об аппроксимируемой функции. Часто она бывает качественного характера, например, известно, что функция f "достаточно гладкая", периодическая, монотонная, четная и т.п. Иногда удается получить некоторые количественные характеристики функции f , например, величина периода, оценка уровня погрешности в заданных значениях и т.д.
Знание свойств функции f часто позволяет осознанно выбирать класс G аппроксимирующих функций. Широко используются классы функций вида
т(х) а00(х) а11(х) атт(х),
являющихся линейными комбинациями фиксированного набора некоторых базисных функций 0(х), 1(х), , т(х).
Если в качестве базисных функций используются степенные функции к(х) = хк, то возникает задача приближения алгебраическими многочленами
Рт(х) а0 а1х атхт .
Для аппроксимации периодических функций часто используются тригонометрические многочлены (ряд Фурье)
.
Выбор класса G аппроксимирующих функций осуществляется с учетом того, насколько хорошо может быть приближена функция f функциями из этого класса.
Необходим критерий выбора в классе G конкретной аппроксимирующей функции g, являющейся в смысле этого критерия наилучшим приближением к f . Например, требование совпадения функции g с функцией f в некоторых фиксированных точках приводит к задаче интерполяции. Другой распространенный критерий - требование минимизации среднеквадратичного отклонения - лежит в основе метода наименьших квадратов. Существует также большое число других критериев.
Важно понимать, что решение указанных выше вопросов тесно связано с тем, как мы собираемся использовать приближение g и какая точность нам нужна.
Задачу выбора в классе G конкретной приближающей функции можно рассматривать как задачу идентификации, если интерпретировать функцию y = g(x, ) как математическую модель реальной функциональной зависимости y = f(x).