Округление.

Часто возникает необходимость в округлении числа а, т.е. замене его числом а* с меньшим числом значащих цифр. Возникающая при такой замене погрешность называется погрешностью округления.

Существует несколько способов округления числа до п значащих цифр:

1. усечение, т.е. отбрасывание всех цифр, расположенных справа от п-ой значащей цифры;

2. более предпочтительным является округление по дополнению: если первая слева из отбрасываемых цифр меньше 5, то сохраняемые цифры остаются без изменения, в противном случае в младщий сохраняемый разряд добавляется единица.

Абсолютная величина погрешности округления при округлении по дополнению не превышает половины единицы разряда, соответствующего последней оставляемой цифре, а при округлении усечением – единицы того же разряда.

Границы абсолютной и относительной погрешностей принято всегда округлять в сторону увеличения.

Погрешности арифметических операций над приближенными числами.

Пусть a* и b* - приближенные значения чисел a и b.

Теорема 1. Абсолютная погрешность алгебраической суммы не превосходит суммы абсолютных погрешностей, т.е. a*  b*  a*  b*. (5)

Доказательство.

a*  b* = a  b  a*  b*a – a*  b – b*  a*  b*.

Следствие.

В силу неравенства (5) естественно положить .

Теорема 2. Пусть a и b - ненулевые числа одного знака. Тогда справедливы неравенства a*  b*  _max, a*  b*  _max , (6)

где _max = max{a*), (b*)},  = a + b/a - b.

Доказательство.

Используя формулы (4) и (5), имеем

a  ba*  b*  a*  b*  a*  b* =aa* bb*  ab_max a b_max .

Из полученного неравенства следуют доказываемые утверждения.

Следствие.

В силу неравенства (6) естественно принять

(7)

Первое из равенств (7) означает, что при суммировании чисел одного знака не происходит потери точности, если оценивать точность в относительных единицах. Однако при вычитании чисел одного знака возможна существенная потеря точности, когда a  ba  b   1, причем не исключена полная или почти полная потеря точности. В этом случае говорят о катастрофической потере точности.

Пример.Пусть рассматривается инженерная задача, в которой вычисляется у=1-х по предварительно определенному значению х. Предположим, что найденное приближение х* = 0.999997 к значению х содержит 6 верных значащих цифр. Тогда у* = 0.000003,  (х*)  0.0001%, а (у*)  33%, т.е. произошла катастрофическая потеря точности.

Таким образом, при построении численного метода решения задачи следует избегать вычитания близких чисел одного знака.

Теорема 3.

Для относительных погрешностей произведения и частного приближенных чисел верны оценки a*b*  a*  b*  a*b* (8)

. (9) Считается, что (b*) < 1.

Доказательство.

aba*b*a*b*ab-a*b*a-a*bb-b*aa-a*b-b*ba*ab*a*b*aba*b*a*b*,

т.е.

aba*b*  aba*b*a*b*.

Разделив обе части этого неравенства на ab, получаем оценку (8).

Для вывода оценки (9) заметим, что

b*bb*-bbb* bb*.

Тогда

Следствие.

Если и , то для оценки границ относительных погрешностей можно использовать следующие приближенные равенства:

(10)

Именно равенства (10) чаще всего используются для практической оценки погрешностей.

Итак, выполнение арифметических операций над приближенными числами, как правило, сопровождается потерей точности. Единственная операция, при которой потеря не происходит, - это сложение чисел одного знака. Наибольшая потеря точности может произойти при вычитании близких чисел одного знака.

5