7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x₀ этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f′(x₀)=0.

Теорема Роля. Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям: непрерывна на [a,b]; дифференцируема на [a,b]; на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a)= f(b).

Доказано, что все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ε ( a,b), в которой производная равна нулю (f′(ε)=0).

Теорема Лагранжа. Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям: непрерывна на [a,b]; дифференцируема на [a,b]. Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка С( a,b), в которой производная равна частному от деления приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке, т.е.

8. Функция нескольких переменных и их непрерывность.

Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений (x¹, х²... хⁿ) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z.

Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z = f (x¹, х² , ... хⁿ).

Например, формула z = π x₁² х₂ задает объем цилиндра z как функцию двух переменных: радиуса основания x₁ и высоты х₂ .

Линией уровня функции двух переменных z = f (x, у) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и тоже и равно С.

9 Производные функций нескольких переменных.

Дадим аргументу х приращение Δх, аргументу у – приращение Δу. Тогда функция z = f (x,у) получит наращенное значение f (x + Δх, у + Δу).

Величина Δz = f (x + Δх, у + Δу) – f (x,у) называется полным приращением функции в точке (х,у).

Если задать только приращение аргумента х или только приращение аргумента у, то полученные приращения функции, соответственно

Δ_хz = f (x + Δх, у) – f (x,у) и Δ_уz = f (x , у + Δу) – f (x,у) называются частными.

Функция z = f (x,у) называется непрерывной в точке М₀(х₀,у₀),если

1. Она определена в этой точке и некоторой её окрестности.

2. 2.

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует), т.е.

10. Дифференциалы функции нескольких переменных.

Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у).

  Для функции произвольного числа переменных:дописать

11. Поиск экстремума функции одной переменной.

Точка х₀ называется точкой минимума функции ( х), если в некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство ( х)  ( х₀).

Точка х₁ называется точкой максимума функции ( х), если в некоторой окрестности точки х₁ выполняется неравенство ( х)  ( х₁).

Значение функции в точках х₀ и х₁ называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Теорема (необходимое условие экстремума) Для того чтобы функция у = ( х) имела экстремум в точке х₀, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (( х₀) = 0) или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются стационарными. Обращаем внимание на то, что эти точки должны входить в область определения функции.

Теорема (достаточное условие существования экстремума). Если при переходе через точку х₀ производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка х₀ есть точка максимума функции у =( х), а если с минуса на плюс, то - точка минимума.

Схема исследования функции на экстремум

1.Найти производную у = ( х).

2.Найти стационарные точки функции, в которых производная ( х) = 0 или не существует.

3.Исследовать знак производной слева и справа от каждой стационарной точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

4.Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.