30. Собственные векторы линейных операторов

Оператор называется линейным, если для любого вектора x и y пространства и любого числа λ выполняются следующие соотношения:

Выберем в пространстве базис и запишем разложение произвольного вектора х по данному базису:

В силу линейности оператора получим:

т.к так же вектор из ,то его можно разложить по базису

Матрица называется матрицей оператора в базисе

Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Иначе: Всякой матрице n-го порядка соответствует оператор n-мерного пространства.

Связь между вектором х и его образом можно выразить в матричной форме:

где А - матрица линейного оператора

действия над линейными операторами:

1. Суммой двух линейных операторов и называется оператор определяемый

равенством 2. Произведением линейного оператора на число λ называется оператор определяемый

Произведением линейных операторов и называется оператор определяемый

Определим нулевой оператор переводящий все векторы пространства в нулевые вектора и тождественный оператор действующий по правилу

Теорема Матрицы А и А* линейного оператора в базисах е₁,е₂, ..е_n и е₁^*,е₂^*, ..е_n^* связаны соотношением А*=С^-1АС, где С – матрица перехода от старого базиса к новому.

31 Определители. Крамер.

Каждой квадратной матрице А, можно поставить в соответствие вычисленное по определенным правилам число, называемое определителем квадратной матрицы.

Определителем матрицы первого порядка А=(а₁₁) или определителем первого порядка называется элемент а₁₁. Обозначается Δ₁ = а₁₁ или│А│= а₁₁.

Определителем матрицы второго порядка или определителем второго порядка называется число, которое вычисляется по формуле: Δ₂ = │А│= а₁₁а₂₂ – а₁₂а₂₁ .

Определителем матрицы третьего порядка

или определителем третьего порядка

называется число, которое вычисляется по

формуле: Δ₃ = │А│= а₁₁а₂₂ а₃₃+а₁₂а₂₃а₃₁+а₂₁а₃₂а₁₃– а₃₁а₂₂а₁₃ – а₁₂а₂₁а₃₃ – а₃₂а₂₃а₁₁.

Пусть А является квадратной матрицей n-го порядка.

Минором М_ij элемента а_ij, называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А

вычеркиванием i –ой строки и j-го столбца.Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j.

Теорема Крамера. Пусть Δ – определитель матрицы системы А, а Δ_j – определитель матрицы, полученный из матрицы заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда если Δ не равен нулю, то система имеет единственное решение, определённое по формулам Крамера:

где j=1..n.