6. Производная и дифференциал.

Пусть функция у = (х) определена на промежутке Х. Возьмем точку хХ. Дадим значению х приращение х0, тогда функция получит приращение у = ( х+х ) - ( х ).

Производной функции у = (х) называется предел отношения приращения функции у к приращению аргумента х при стремлении х к нулю. Производная функции у = (х) обозначается символом ( х). Если функция в точке х₀ имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Производная функции у = (х) в точке х₀ является значением функции ( х) в точке х₀. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Геометрический смысл производной: Производная есть угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона), проведенной к кривой y=f(x) в точке х₀. Уравнение касательной к кривой y=f(x) имеет вид:

Дифференциалом функции называется главная линейная относительно х часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной dy = f (x) х.

Правила дифференцирования: 1.Производная постоянной равна нулю, т.е. С=0. 2.Производная аргумента равна 1, т.е. х=1. 3.Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е. (u + v) = u + v. 4.Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле: (u v) = u v + u v. Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (Сu) = Cu. 5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

№	Функция у	Производная у	№	Функция у	Производная у
1	C	0	9	sin u
2	x	1	10	cos u
3			11	tg u
4			12	ctg u
5			13	arcsin u
6	ln u	(1/u) u	14	arccos u
7	logau	(1/ u lna) u	15	arctg u	(1/(1+u2)) u
8	un	nun-1 u	16	arcctg u	- (1/(1+u2)) u