2.Предел функции.

Предел функции в бесконечности.

Число А называется пределом функции у = f (х) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число S (зависящее от ), что для всех х таких, что х  S, верно

неравенство: f(x)–А

Этот предел функции обозначается:

Геометрический смысл предела функции f (х) при х, стремящемся к бесконечности. Число А есть предел функции у = f (х) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число S ( зависящее от ), что для всех х таких, что х  S,соответствующая ордината графика функции f (х) будет находиться в полосе A- <f(x)<A+ , какой бы узкой эта полоса ни была.

Предел функции в точке. Число А называется пределом функции у = f(х) при х, стремящимся к х₀, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число  ( зависящее от ), что для всех х , не равных х₀ и удовлетворяющих условию  х- х₀   ,

верно неравенство:  f(x)– А   

Этот предел функции обозначается:

3. Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. Функция не может иметь более одного предела. Теорема 2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.

Теорема 3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е.

Следствие.1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Следствие 2. Предел степени равен степени предела, т.е.

Теорема 4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, при условии, что предел делителя не равен нулю, т.е.

4 Непрерывность функции в точке и на интервале.

Определение 1. Функция (х) называется непрерывной в точке х₀, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1) определена в точке х₀ (т.е. существует (х₀));

2) имеет конечный предел функции при х  х₀;

3) этот предел равен значению функции в этой точке , т.е.

Определение 2. Функция у =(х) называется непрерывной в точке х₀, если она пределена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное двух функций непрерывных в одной и той же точке а, есть функция непрерывная в той же точке, причем в случае частного предполагается, что функция делитель не обращается в нуль при х = а. (Теорема остается верной для суммы и произведения любого конечного числа функций).

Функция у = (х) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

5. Точки разрыва первого и второго рода.

Точка х₀, в которой функция (х) не является непрерывной называется точкой разрыва.

Точка х₀ называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы функции слева или справа при х  х₀, не равные друг другу, либо если они равны между собой, но не равны значению функции в точке х₀.

Обозначим

а) , в этом случае функция имеет скачок

б) ,но не равно значению функции в точке х₀ , имеем устранимый разрыв.

Точка х₀ называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.