32. Решиение системы матричной формы

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

где a_ij, b_i (i =1..m; j =1..n) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел (x₁=k₁, x₂=k₂, … x_n=k_n), при подстановке которых в (1) каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система, называется определенной, если она имеет единственное решение, и

неопределенной, если она имеет более одного

решения.

Запишем систему (1) в матричной форме. Обозначим: где А – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, Х – матрица-столбец переменных; В – матрица-столбец свободных членов.Систему (1) можно записать в виде: АХ=В.

33. Метод Гаусса.

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида.

Рассмотрим матрицу:

эта матрица называется расширенной матрицей

системы (1), так как в нее кроме матрицы системы А, дополнительно включен столбец свободных членов.

Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:

О бнулим коэффициенты при Х во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них первую строчку, умноженную на-3\2 и -1 , соответственно:

Теперь обнулим коэффициент при У в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на 4:

В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.

На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем: Z=-1 из третьего;

Y=3 из второго, подставив полученное Z, X=2 из первого.Таким образом исходная система решена.