43.Теорема про оптимальність розв’язку задачі лінійного програмування симплекс-методом.

Симплексний метод уможливлює направлений перебір опорних планів, тобто перехід від одного плану до іншого, який є хоча б не гіршим від попереднього за значенням функціонала. Отже, окремим питанням стає вибір вектора, який необхідно вводити в базис при здійсненні ітераційної процедури симплексного методу. Щоб план задачі лінійного програмування був оптимальним, необхідно і достатньо, щоб його оцінки були невід’ємними для задачі на максимум та недодатними для задачі на мінімум.

Умови оптимальності планів задач лінійного програмування є наслідками двох теорем. Теорема1. Якщо для деякого вектора виконується умова , то план не є оптимальним і можна відшукати такий план Х, для якого виконуватиметься нерівність . Теорема 2. Якщо для деякого вектора виконується умова , то план не є оптимальним і можна побудувати такий план Х, для якого виконуватиметься нерівність .

44.Цілочислове програмування. Область застосування цілочислових задач в плануванні й управлінні виробництвом.

Задача математичного програмування, змінні якої мають набувати цілих значень, називається задачею цілочислового програмування. У тому разі, коли цілочислових значень мають набувати не всі, а одна чи кілька змінних, задача називається частково цілочисловою.

До цілочислового програмування належать також ті задачі оптимізації, в яких змінні набувають лише двох значень: 0 або 1 (бульові, або бінарні змінні).

Задача про рюкзак. Найпростішою задачею цілочислового програмування, а саме задачею лише з одним обмеженням, є задача про рюкзак. Така задача має багато прикладів практичного застосування. Назва «задача про рюкзак» пов’язана з інтерпретацією задачі вибору найкращого складу предметів, що задовольняють певні умови гіпотетичної проблеми туриста щодо вибору для походу оптимальної кількості речей.

Задача оптимального розкрою матеріалів. На підприємстві здійснюється розкрій m різних партій матеріалів у обсягах одиниць однакового розміру в кожній партії. Із матеріалів усіх партій потрібно виготовити максимальну кількість комп­лектів Z, у кожен з яких входить p різних видів окремих частин в кількості одиниць, враховуючи, що кожну одиницю матеріалу можна розкроїти на окремі частини n різними способами, причому у разі розкрою одиниці i-ої партії j-им способом отримуємо деталей r-го виду.

Задача комівояжера. Розглядається n міст А₁, А₂,..., А_n, що пов’язані між собою транспортною мережею. Відома матриця відстаней від кожного міста до усіх інших:

,

причому в загальному випадку не завжди . Комівояжер повинен побувати в кожному місті тільки один раз і повернутися в те місто, з якого почав рухатися. Необхідно відшукати такий замкнений маршрут, що проходить через кожне місто лише один раз і довжина якого мінімальна.

Задача з постійними елементами витрат. Відомо, що витрати на виготовлення будь-якої продукції складаються з двох частин: постійних та змінних витрат.

Необхідно визначити оптимальні обсяги виробництва продукції, за яких загальні витрати були б мінімальними.

Задача планування виробничої лінії. Розглядається процес функціонування виробничої лінії. Відома схема, яка зображає послідовність робіт для виготовлення k видів продукції.

Необхідно визначити оптимальні моменти початку кожної операції.

Задача про призначення. зводиться до транспортної і може бути розв’язана одним з відомих методів знаходження оптимального плану транспортної задачі.