16.Уравнение Гельмгольца.Фундаментальные решения. Интегральные формулы (грина)

ΔU+k²U=0, k>0 – Уравнение Гельмгольца.

ε_n^(k)(x) – фундаменальное решение уравнений Гельмгольца

ε_n^(k)(x)=f(r), где r=|x| при х≠0

f⁽²⁾(r)+ (n-1)/r f^/(r)+ k²f(r)

Преобразовав уравнение получим:

r²f⁽²⁾(r)+arf^/(r)+(β+k²r²)f(r)=0

– Оператор Эйлера

Интегральные соотношения:

- неоднородное уравнение Гельмгольца

17.Полиномы Лежандра и их свойства.

-дифференциальная формула для

полиномов Лежандра(формула Родрига)

- производящая функция полиномов Лежандра.

Свойства:

1. Реккурентные формулы

P_n-1^/(x)=xP_n^/(x)-nP_n(x)

P_n^/(x)-xP_n-1^/(x)-nP_n-1(x)=0

2. Ортогональность полиномов Лежандра

при m≠n

3. Норма полиномов Лежандра

или

4. Нули полиномов Лежандра.

Полином Лежандра P_n(x) имеет n нулей, расположенных на интервале -1<x<1, а его производная k-го порядка k≤n имеет n-k нулей внутри интервала (-1;1) и не обращается в нуль вне этого интервала.

19.Обобщенные функции и их свойства. Дельта функция, разложение в интеграл Фурье

Задан линейный непрерывный функционал f на пространстве K, если каждой функции φ(x) сопоставлено вещественное число(f,φ) и:

1. Для любых α₁, α₂ и φ₁(x),φ₂(x)

(f,α₁φ₁+α₂φ₂)=α₁(f,φ₁)+α₂(f,φ₂)

2. Если φ₁,…,φ_k,… ->0 на K, то (f,φ₁),…, (f,φ_k),… ->0

Обобщенной функцией называется линейный непрерывный функционал, определенный на основном пространстве K.

регулярная обобщенная функция

Свойства:

1. Локальные

f=0 в окрестности V точки X₀, если в этой окрестности f(x)=0

Если δ≠0 ни в какой окрестности точки X₀, то X₀ – существенная точка.

Совокупность всех существенных точек – носитель обобщенной функции f.

Обобщенные функции f,g совпадают в области G, если f-g в этой области рпвна 0.

Обобщенная функция f регулярна в области G, если в ней она совпадает с некоторой обычной локально интегрируемой функцией.

2. (f+g,φ)=(f,φ)+(g,φ)

3. (αf,φ)=α(f,φ)=(f,αφ)

4. (af,φ)=(f,aφ)=

5. (Uf, φ)=|U|(f, φ(Ux)), U-некоторая операция

6. (f^/,φ)-(f,-φ^/)

-дельта функция

разложение в ряд Фурье

- интеграл Фурье для δ-функции

20.Уравнение для функции грина c использованием δ-функции

G=δ(x-x^/)δ(y-y^/)…

(Δ+

21.Нелинейные уравнения, физические и математические причины нелинейности.

– нелинейное уравнение

Учет нелинейной поправки приводит к изменению формы волны при распространении.

Физическими причинами появления нелинейности могут быть дисперсия или потери

Нелинейная поправка состоит в том, что мы можем написать нелинйную добавку: (вопрос знака не принципиален)

Физически не всегда можно пренебречь нелинейными членами уравнения

22.Уравнения римана, кортевега де Вриза и их решения. Физическая инерпретация. Уединеные волны, солитоны.

– Уравнение Римана. Описывает распространение нелинейной волны.

– линейное

–нелинейное

Описывает распространение волн в линейной(нелинейной) диспегирующей среде.

– нелинейное уравнение Бюргереа

Описывает распространение волн в нелинейной среде с потерями

η=x(C-γ)t η₀-сдвиг

Волны движутся с разной скоростью в зависимости от амплитуды. Точное решение называется уединённой волной(солитоном). В среде с дисперсией возможны существования солитонов в виде уединенной волны, распространяющихся без изменения формы.