3.Законы динамики твердого тела

Уравнение движения центра масс.

dP/dt=mdVc/dt=mWc=F_внешн.

P=MiVi.

Уравнение моментов:

dMo/dt=N_oвнешн.

Mo=[r,M_iV_i];

P=M_iV_i;

dMc/dt=N_cвнешн.

Условие равновесия твёрдого тела.Vx=0,P=0,Mo=0,F_i=0, F_xi=0; F_yi=0; F_zi=0; Ni=0; N_xi=0; N_yi=0; N_zi=0.

Момент импульса твёрдого тела относительно оси вращения.r_i=R_ie_ri+z_ie_r; Vi=Ri[,e_ri]=[,R_i]=_zR_ie_; M_z=RiPi=zMiRiРi;

Момент инерции: Iz=MiRiРi; M_z+I_z_z.

БИЛЕТ 7. 1.Силы инерции.

2. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

3. Преобразования Лоренца.

1.Силы инерции в поступательно движущейся системе отсчета

Законы Ньютона выполняются только в ИСО. Относительно всех ИСО данное тело движется с одинаковым ускорением w. Любая НИСО движется относительно ИСО с некоторым ускорением, поэтому ускорение тела в НИСО отсчета w’ будет отлично от w. Обозначим разносить ускорений тела в ИСО и НИСО символом a: w – w’ = a. Для поступательно движущейся НИСО a одинаково для всех точек пространства (a = const) и представляет собой ускорение НИСО. Для вращательно движущейся НИСО a в разных точках пространства будет различным (a = a(r’), где r’ – радиус-вектор, определяющий положение точки относительно НИСО).

Пусть результирующая всех сил, обусловленных действием на данное тело со стороны других тел, равна F. Тогда согласно второму закону Ньютона ускорение тела относительно любой ИСО равно w = F/m. Ускорение же тела относительно некоторой НИСО можно представить в виде w’ = w – a = F/m – a. Отсюда следует, что даже при F = 0 тело будет двигаться по отношению к НИСО с ускорением –a, т.е. так, как если бы на него действовала сила, равная –ma. Сказанное означает, что при описании движения в НИСО можно пользоваться уравнениями Ньютона, если наряду с силами, обусловленными воздействием тел друг на друга, учитывать так называемые силы инерции F_in, которые следует полагать равными произведению массы тела на взятую с обратным знаком разность его ускорений по отношению к ИСО и НИСО: F_in = -m(w – w’) = -ma. Соответственно уравнение второго закона Ньютона в НИСО будет иметь вид mw’ = F + F_in.

2. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

V_i=[,r_i];

T=1/2m_iV_i²;

V_i²=[,r_i]=²R_i²;

T=1/2m_iR_i²²=1/2(²)=(²)/2;

3. Преобразования Лоренца - это уравнения, связывающие координаты и время некоторого события в двух инерциальных системах отсчета. В отличие от преобразований Галилея преобразования Лоренца не должны противоречить постулатам С.Т.О.: необнаружимости абсолютного движения и постоянству скорости света. При скорости движения системы отсчета V<< c преобразования Лоренца должны переходить в преобразования Галилея. Для вывода преобразований Лоренца рассмотрим в двух системах отсчета мысленный опыт. Одна система К - неподвижна, другая К' движется вдоль оси х со скоростью V. Пусть в момент времени t = t' = 0, когда начала систем координат совпадали, в этом начале произошла вспышка света и стала распространяться сферическая световая волна. В соответствии с постулатом I фронт этой волны будет сферой в обеих системах отсчета, сфера эта будет, в соответствии с постулатом II, увеличивать свой радиус со скоростью света и в той, и в другой системе отсчета. Опираясь на эти требования, найдем вид правильных преобразований координат и времени. В качестве пробного возьмем преобразование Галилея, а затем его подправим.

Фронт световой волны в системе К - это сфера радиуса ct: x2 + y2 + z2 = c2t2. В системе К' уравнение фронта этой волны, в соответствии с постулатами I и II (x')2+(y')2+(z')2=c2 (t')2,

пробуем преобразования Галилея, переходим в К: (x')2 = (x - Vt)2; (y')2 = y2; (z')2 = z2;(t')2 = t2,отсюда следует: x2 - 2Vxt + V2t2 + y2 + z2 = c2t2,

сравните с (x')2+(y')2+(z')2 = c2(t')2. Появились ЛИШНИЕ ЧЛЕНЫ, надо так изменить преобразования, чтобы они исчезли. Пробуем преобразования: x' = x- Vt, y'=y, z'=z, t'=t-αx

x2 - 2Vxt + V2t2 + y2 + z2 = c2t2 - 2c2αxt + c2α2x2

приравниваем подчеркнутые члены, получаем: При таком α остается: перегруппируем Подправим преобразование так, чтобы исчезли выражения в скобках, для этого возьмем Такие преобразования сохраняют вид уравнения фронта световой волны, сфера преобразуется в сферу, в соответствии с постулатами С.Т.О. Обозначим, для удобства записи, тогда преобразования Лоренца запишутся так:а) прямые

б) обратные

Релятивистская механика должна быть построена таким образом, чтобы уравнения движения не менялись при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, т.е. были инвариантны относительно преобразований Лоренца.

БИЛЕТ8. 1. Энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек.

2. Момент импульса тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

3. Длина тела в разных системах отсчета.

1.Энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек.

Гравитация — универсальное фундаментальное взаимодействие между всеми материальными телами. Гравитация является самым слабым из четырех типов фундаментальных взаимодействий. Гравитация является самым слабым из четырех типов фундаментальных взаимодействий.

2.Момент импульса т.т. относительно оси вращения.

; ;В общем случае вектор момента импульса не совпадает по направлению с осью вращения тела z и поворачивается вместе с телом вокруг этой оси, описывая конус.

3.Длина тела в разных системах отсчета.

Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х и покоящийся относительно системы K’ . Длина его в этой системе равна: , где и - не изменяющиеся со временем координаты концов стержня. Относительно системы K стержень движется со скоростью v. Для определения его длины в этой системе нужно отметить координаты концов стержня и в один и тот же момент времени . Их разность даст длину стержня, измеренную в системе K. Чтобы найти соотношение между и , следует взять ту из формул преобразования Лоренца, которая содержит , т.е.

откуда

И окончательно

БИЛЕТ 9. 1. Потенциальная энергия взаимодействия.