Построение модели регрессии. Оценка адекватности модели

Теоретической линией регрессии называется та линия, вокруг которой группируются точки корреляционного поля и которая указывает основное направление, основную тенденцию связи. Теоретическая линия регрессий должна отображать изменение средних величин результативного признака у по мере изменения величин факторного признака х при условии полного взаимопогашения всех прочих случайных по отношению к фактору х причин. Следовательно, эта линия должна быть проведена так, чтобы сумма отклонений точек поля корреляции от соответствующих точек теоретической линии регрессии равнялась нулю, а сумма квадратов этих отклонений была бы минимальной величиной.

Важным этапом регрессионного анализа является определение типа функции, с помощью которой характеризуется зависимость между признаками. Главным основанием для выбора вида уравнения должен служить содержательный анализ природы изучаемой зависимости, ее механизма. Вместе с тем, теоретически обосновать форму связи каждого из факторов с результативным показателем можно далеко не всегда, поскольку исследуемые социально-экономические явления очень сложны и факторы, формирующие их уровень, тесно переплетаются и взаимодействуют друг с другом. Поэтому на основе теоретического анализа нередко могут быть сделаны самые общие выводы относительно направления связи, возможности его изменения в исследуемой совокупности, правомерности использования линейной зависимости, возможного наличия экстремальных значений и т.п. Необходимым дополнением такого рода предположений должен быть анализ конкретных фактических данных. Приблизительное представление о линии связи можно получить на основе эмпирической линии регрессии.

Для нахождения параметров уравнения регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении метода наименьших квадратов для нахождения такой функции, которая наилучшим образом соответствует эмпирическим данным, считается, что сумма квадратов отклонений эмпирических точек теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной.

Критерий метода наименьших квадратов можно записать таким образом:

Одним из важнейших параметров уравнения является коэффициент регрессии. При наличии прямой корреляционной зависимости коэффициент регрессии имеет положительное значение, а в случае обратной зависимости коэффициент регрессии - отрицательный. Коэффициент регрессии показывает, на сколько в среднем изменяется величина результативного признака у при изменении факторного признака х на единицу.

На рис.1 СЛАЙДА 4 представлена линейная модель регрессии, характеризующая зависимость между долей покупателей в возрасте от 25 до 40 лет и средней ценой. Коэффициент регрессии составляет +45,86, то есть при увеличении доли покупателей на 1% цена на реализуемую продукции возрастет в среднем на 45,86 руб.

Оценка адекватности модели регрессии (СЛАЙД 4)

На рис. 2 представлены три отклонения, которые определяются по результатам построения модели На рис. 2 они для удобства представлены только для одной точки. Для оценки адекватности модели аналогичным образом рассчитанные отклонения суммируются для всех наблюдений.

Значению факторного признака соответствует по результатам наблюдения значение результативного признака . Если воспользоваться уравнением регрессии для определения величины результативного признака, получим величину . Общая величина отклонения наблюдаемого значения от средней (отклонение III) будет тогда представлена на графике двумя отрезками, которые соответствуют: отрезок I - отклонению теоретического значения от средней величины результативного признака и представляет собой ту часть отклонения III, которая может быть объяснена влиянием фактора х, включенного в модель регрессии. Вторая часть общего отклонения , обозначенная на графике цифрой II, характеризует остаточную часть общего отклонения и не может быть объяснен влиянием фактора х.

При расчете стандартной ошибки модели (k – число параметров модели) используется отклонение II, то есть отклонение, которое характеризует влияние неучтенных факторов на вариацию результативного показателя. Следовательно, стандартная ошибка модели должна быть как можно меньше. Стандартная ошибка используется, в частности, для сопоставления моделей: лучшей считается модель, имеющая меньшую ошибку. Если с помощью стандартной ошибки оценивается адекватность отдельно взятой модели, то ошибку необходимо сравнить со средним значением результативного признака, то есть определяется относительная ошибка аппроксимации – . Модель считается достаточно адекватной при ошибках аппроксимации менее 15%.

Критерий – определяется как отношение отклонений I и III, то есть характеризует долю вариации результативного признака, обусловленную влиянием фактора, включенного в модель регрессии. Соответственно, изменяется в пределах от 0 до 1.

Индекс корреляции характеризует степень близости выбранной теоретической линии регрессии к фактическим данным. Индекс корреляции может принимать значения в пределах от 0 до 1. Если он равен или близок к нулю, это означает, что между переменными х и у либо нет связи, либо если она и существует, то не может быть охарактеризована выбранной формой уравнения регрессии.