13 Вопрос Вычисление вычетов.
Пусть f(z)
имеет полюс
первого порядка. Тогда она представляется
в виде частного f(z)
=
и ряда Лорана
f(z)
=
+
(z)
. Умножим
f(z)
на (z
– a)
и перейдем
к пределу z
a
lim
f(z)(z – a) = lim
= A-1
(
46 )
т.е. вычет функции с полюсом первого порядка в точке а равен пределу произведения функции на двучлен (z – a) при z a .
При вычислении предела в ( 2.17 ) используем правило Лопиталя
lim
= lim
= lim
=
= res f(z) (
47 )
т.е. для определения вычета достаточно значение числителя функции в точке а разделить на значение производной от знаменателя в этой точке
Если f(z) имеет в точке а полюс порядка n, разложение этой функции в ряд Лорана умножим на (z – a)n
(z – a)n f(z) = A-n + A1-n(z – a) + A2-n(z – a)2 + . . . + A-1(z – a)n-1 + (z – a)n (z) ,
(n – 1) раз продифференцируем и получим (n – 1)! А-1 + [(z – a)n (z)](n – 1) . Переход к пределу z a исключит второе слагаемое и определит вычет
res
f(z)
=
lim
(
49 )
Пр. Найти вычеты
функции f(z)
=
Решение. Полюсами являются точки z = 1 , z = 3
=
(z
– 1)
=
= - ½
=
(z
– 3)
=
= 3/2
или по формуле ( 2.18 ) : g(z) = z , h(z) = (z – 1)(z – 3) , h’(z) = 2z – 4 , тогда
=
=
- ½ ;
=
= 3/2
Пр. Найти вычеты
функции f(z)
=
Решение. Здесь z = 2 - полюс третьего порядка, тогда
=
=
=
2
= 1
Вычисление интегралов.
Пусть f(z)
аналитическая
функция в верхней полуплоскости, включая
действительную ось, за исключением n
полюсов ai
расположенных
над осью Ох. Кроме того lim
z2
f(z)
= C
– конечное
число при |z|
,
т.е. на
бесконечности функция становится
двукратной нулевой точкой. Тогда
определенный интеграл
f(x)dx
функции
действительной
переменной
равен
f(x) dx = 2 i ( r1 + r2 + . . . + rn ) ( 50 )
где ri - вычеты функции f(z) в ai . ( 2.20 ) – часть интеграла по замкнутому контуру. Он состоит из действительной оси и полуокружности радиуса R , интеграл вдоль которой равен нулю в силу дополнительного условия.
Пр. Вычислить J
=
.
Решение. Функция
f(x)
=
аналитическая в верхней полуплоскости,
за исключением полюса 2 порядка в 2i.
Проверка
дополнительного условия при |z|
lim
z2f(z)
= lim
=
lim
=
{ z
= r
eit
} = lim
=
0
т.е. конечное число. Вычисление вычета по ( 2.18 )
=
=
=
=
Ответ.
J
= 2
i
=
2
i
(
)
=
Пр. Вычислить J
=
,
если
-окружности:1)
|z|
= 1, 2)
|z|
= 3, 3)
|z|
= 5
Решение. Найдем вычеты относительно полюсов z = 0 , z = - 2 , z = - 4
=
z
f(z)
=
= 1/8
=
(z
+ 2) f(z)
=
= - ¼
=
(z
+ 4) f(z)
=
= 1/8
1) Внутри окружности
|z|
= 1 находится
один полюс z
= 0
J1
= 2
i
(
)
=
i
/ 4
2) Внутри окружности
|z|
= 3 находятся
полюсы z
= 0, z
=-2
J2
= 2
i
(
)
= -
i
/ 4
3) Внутри окружности
|z|
= 5находятся
полюсы z
= 0, z
=-2, z
=-4
J3
= 2
i(
)=
0