Вариант 5
1. Методом жеребьёвки из студенческой группы (25 чел.), в которую входят Иванов и Петров, выбирают четверых для помощи в уборке территории института. С какой вероятностью Иванов попадёт, а Петров не попадёт в число помощников?
2. В студенческой группе 25 человек, в том числе Иванов, Петров и Сидоров. Студенты сдают экзамен в случайной очерёдности. С какой вероятностью первыми экзаменующимися окажутся упомянутые три студента в произвольном порядке?
3. Какова вероятность того, что четырёхзначный номер автомобиля начинается и заканчивается одной и той же цифрой?
4. Вероятность попадания в мишень для 1-го стрелка равна 0.8, для 2-го и 3-го стрелков – 0.7, а для 4-го, 5-го и 6-го стрелков – 0.6. Наудачу выбранный стрелок произвёл выстрел и попал. С какой вероятностью это был первый стрелок?
5. Какова вероятность,
не целясь, попасть пулей диаметра 1 см
в прутья толщины 1 см, образующие решётку
с прямоугольными ячейками размера 6
см
10
см?
6. Процент брака в массовом производстве деталей равен 10%. С конвейера берут для контроля 6 деталей. С какой вероятностью среди них окажутся ровно две бракованные?
Вариант 6
1. Среди 20 приборов 5 не исправны. На контроль берут 4 прибора. С какой вероятностью среди них будет обнаружен хотя бы один неисправный прибор?
2. Шесть человек, в том числе Иванов, Петров и Сидоров рассаживаются случайным образом на 6 мест за круглым столом. С какой вероятностью эти три человека окажутся сидящими на соседних местах?
3. Какова вероятность того, что четырёхзначный номер автомобиля содержит ровно две цифры «7»?
4. На склад поступают изделия от двух поставщиков с процентом брака 2% и 6% соответственно. От второго поставщика приходит в два раза меньше продукции, чем от первого. На контроль взято одно изделие, оказавшееся бракованным. С какой вероятностью оно поступило от второго поставщика??
5. На отрезке [0;1] наудачу выбирают две точки. С какой вероятностью сумма их координат будет больше 1?
6. Студент может решить задачу по теории вероятностей с вероятностью 0.5. Ему предложены 6 задач. С какой вероятностью он решит ровно 3 из них?
Решение задач варианта 1
1. При выборе без
возвращения порядок элементов можно
не учитывать. Поэтому
.
Благоприятствующие исходы соответствуют
выборкам по три белых шара из имеющихся
6 белых шаров, т.е.
.
Окончательно,
.
2. Число элементарных
исходов равно числу перестановок из 6:
.
Благоприятствующие
событию
исходы подсчитаем с помощью формулы
(1.3.8):
.
При этом учтём, что:
а) первый в очереди
–Сидоров (1 вариант,
);
б) Иванов и Петров
- по соседству, т.е. занимают места: 2-е и
3-е или 3-е и 4-е, или 4-е и 5-е, или 5-е и 6-е,
число вариантов
;
в) если Иванов и
Петров, находясь по соседству, поменяются
местами, то они останутся соседями в
очереди, т.е.
;
г) при выполнении
всех перечисленных условий для Иванова,
Петрова и Сидорова остальные 3 студента
могут находиться на трёх оставшихся
местах очереди в любом порядке, поэтому
.
Окончательно,
,
.
3. Случайный выбор
четырёхзначного номера можно представить
как выбор 4 элементов (цифр) из 10 с
возвращением. Поскольку речь идёт о
выборке с повторениями, порядок элементов
безусловно важен. Таким образом,
.
Формирование
благоприятствующих событию
исхода можно представить как выбор 4
элементов из 10 без возвращения, т.е.
благоприятствующие исходы - это выборки
из 10 элементов по 4 без повторений.
Поскольку порядок элементов в выборке
при подсчёте
учитывался, то он должен быть учтён и
при определении числа
,
т.е.
.
Окончательно,
.
4. Используем
формулу полной вероятности. Событие
{взятое
изделие оказалось бракованным}, гипотезы:
{взятое
изделие поступило от
-го
поставщика}. Вероятности:
,
;
,
.
Окончательно,
.
5. Изобразим ячейку сетки, на которую упал шарик, см рис. 1.11.1
Рис. 1.11.1. К задаче 5
Опыт по падению
шарика на сетку можно представить в
виде геометрической схемы со случайным
выбором точки (центр шарика) в пространстве
{ячейка
сетки – квадрат со стороной 4 см}. Шарик
не заденет сетку, если расстояние от
его центра до ближайшей стороны ячейки
не превзойдёт величины радиуса шарика,
поэтому
{квадрат
со стороной 2см}, см рис. .
Таким образом,
.
6. В условии задачи
описана серия из
испытаний по схеме Бернулли с вероятностью
успеха
.
По формуле Бернулли находим:
.