![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Лабораторные работы по мат. Моделированию (заочники) Лабораторная работа №1.
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №2.
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №3.
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №4.
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №5.
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
Лабораторная работа №3.
Цель: математические модели прикладных задач (биологическая популяция).
Задача 1: Рост, выживание и деление клеток определяются потоком питательных веществ через оболочку клетки. Это означает, что на ранних стадиях клеточного роста увеличение массы клетки в момент времени пропорционально квадрату радиусу клетки, а масса клетки пропорциональна его кубу. Построить дифференциальное уравнение, описывающее изменение массы клетки в зависимости от времени , если начальная масса клетки равна . Найти массу клетки за время ее роста.
Решение:
По условию,
,
,
,
,
.
Следовательно,
получаем систему уравнений:
,
где
-
коэффициент пропорциональности
увеличения массы клетки на ранней стадии
развития,
-
коэффициент пропорциональности
увеличения массы клетки на поздней
стадии развития.
Для
удобства, выразим радиус клетки
из второго уравнения системы:
,
и подставим в первое уравнение:
.
Разделяя переменные и интегрируя последнее уравнение, получим:
,
.
(3.1)
Так
как в начальный момент времени, масса
клетки равна
,
т.е.
,
то подставляя это условие в (3.1) находим
постоянную величину
:
.
Следовательно, (3.1) можно переписать в следующем виде:
,
,
,
при
.
Варианты заданий:
1 вариант |
|
2 вариант |
|
3 вариант |
|
4 вариант |
|
5 вариант |
|
6 вариант |
|
7 вариант |
|
8 вариант |
|
9 вариант |
|
10 вариант |
,
|
11 вариант |
|
12 вариант |
|
13 вариант |
|
14 вариант |
,
|
15 вариант |
|
Задача
2: Популяция
бактерий возрастает от начального
размера
единиц до равновесного размера
единиц. Предполагается, что в течение
первого времени
,
она увеличилась до
.
Считается, что рост популяции подчиняется
логистическому уравнению, определить
ее размер в момент времени
.
Решение:
Равновесное значение особей определяется
как
,
где
-
соответственно, средние рождаемость и
смертность в данной популяции.
Тогда в момент времени , численность популяции будет равна:
.
(3.2)
Для нахождения постоянного значения , воспользуемся равенством:
,
(3.3)
где
- численность популяции в начальный
момент времени (
).
Для
примерных расчетных данных,
,
,
,
,
используя (3.2-3.3) получаем следующее:
,
,
,
,
,
,
.
В данном случае получили пропорциональность роста популяции в течение времени равную .
Подставляя
данное значение в (3.2), получим численность
популяции в момент времени
:
.