Значение корня, полученные в результате расчётов, и потребное количество итераций для получения корня с заданной точностью:

Результат выполнения программы:

Корень уравнения: 0.04681396

Значение уравнения: 0.00000317

Точность: 0.0001

Итерационный процесс завершен на 14 шаге

Скриншоты:

Анализ результатов и вывод:

Значение корня уравнения, полученное в программе по методу Дихотомии, совпало со значением, найденным на графике функции.

Значение уравнения теоретически должно быть равным нулю, что мы и получили в программе(количество верных знаков-4)

Вторая часть расчетно-графической работы:

Цель 2-й части работы:

Получить практические навыки в использовании численных методов решения дифференциальных уравнений.

Для выполнения 2-й части работы необходимо:

• составить логическую схему алгоритма, таблицу идентификаторов и программу, реализующую заданный в соответствующем варианте численный метод,

• описать указанный численный метод интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений,

• составить логическую схему алгоритма и программу решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях и шагах интегрирования,

• ввести программу в компьютер, отладить, решить задачу и вывести результат в виде рассчитанных значений искомой функции в зависимости от аргумента х и шага интегрирования, а также точное решение y_,

• используя точные решения y_ , определить ошибки метода Δу в виде функции от аргумента х,

• построить графики функции Δу(х) при различных значениях шага интегрирования,

• проанализировать графики и сделать вывод, как влияет шаг интегрирования на точность решения задачи.

Математическое описание численного метода решения дифференциального уравнения методом, заданным в варианте:

Метод Рунге Кутта 3-го порядка.

Дано

х₀у(х₀)=у₀

у

Р(х₀+ ,у(х₀+ ))

₀

₀

Р(х₀,у₀)

₀

у₀

0

х₁

х

х₀

В этом методе неизвестная функция на шаге интегрирования заменяется прямой, проходящей через начальную точку с тангенсом угла наклона, равным взвешенной сумме первых производных функции у(х) в начале, в середине и в конце шага интегрирования.

Запишем для первого шага:

у(х₁)=у(х₀)+F₀h,

Обозначим у(х₁)=у₁,

у(х₀)= у₀,

Тогда имеем у₁=у₀+F₀h,

,

a₀=f(х₀у₀),

b₀=f(х₀+ ,у(х₀+ )),

у(х₀+ )=у₀+ f(х₀у₀), =у₀+а₀ ,

b₀=f(х₀+ , у₀+а₀ ),

c₀=f(х₀+h,у(х₀+h)).

у(х₀+h)=у₀+а₀h, но это грубо, поэтому вместо а₀ берем в_0.

у(х₀+h)=у₀+в₀h, значит с₀=f(х₀+h,у₀+в₀h).

Т.О., для первого шага

а₀=f(х₀у₀),

1-ый шаг

в₀=f(х₀+ , у₀+а₀ ),

с₀=f(х₀+h,у₀+в₀h),

F₀= (а₀+в₀+с₀),

у₁₌у₀+F₀h,

х₁=х₀+h,

а₁=f(х₁у₁),

2-ой шаг

в₁=f(х₁+ , у₁+а₁ ),

с₁=f(х₁+h,у₁+в₁h),

F₁= (а₁+4в₁+с₁),

у₂₌у₁+F₁h,

х₂=х₁+h,

·

·

· а_n-1=f(х_n-1, у_n-1),

n-ый шаг

в_n-1=f(х_n-1+ , у_n-1+а_n ),

с_n-1=f(х_n-1+h,у_n-1+в_nh),

F_n-1= (а_n-1+4в_n-1+с_n-1),

у_n=у_n-1+F_n-1 ·h,

х_n=х_n-1+h.

Дифференциальное уравнение, начальные условия и набор шагов интегрирования, указанные в варианте:

Варианты задания:

№ п/п	Дифференциальное уравнение	Точное решение уравнения	Нач. условия	xmax	Метод решения
				2	Метод Р-К 3-ей степени точнос-ти, x=0,05; 0,04; 0,03

Схема алгоритма решения дифференциального уравнения: