4. Понятие о средних велечинах.

Средней величиной в статистике называется обобщающий показа­тель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных ус­ловиях места и времени, отражающий величину варьирующего при­знака в расчете на единицу качественно однородной совокупности.

В экономической практике используется широкий круг показа­телей, вычисленных в виде средних величин. Вычисление среднего — один из распространенных приемов обобщения; средний показатель отражает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому мож­но абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае. В способности абстрагироваться от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная ценность средних как обоб­щающих характеристик совокупностей.

Там, где возникает потребность обобщения, расчет таких ха­рактеристик приводит к замене множества различных индивиду­альных значений признака средним показателем, характеризую­щим всю совокупность явлений, что позволяет выявить законо­мерности, присущие массовым общественным явлениям, неза­метные в единичных явлениях.

Средняя отражает характерный, типичный, реальный уро­вень изучаемых явлений, характеризует эти уровни и их изме­нения во времени и в пространстве.

Средняя — это сводная характеристика закономерностей процесса в тех условиях, в которых он протекает.

Анализ средних выявляет, например, закономерности изме­нения производительности труда, заработной платы рабочих отдельного предприятия на определенном этапе его экономи­ческого развития, изменения климата в конкретном пункте земного шара на основе многолетних наблюдений средней температуры воздуха и др.

Однако для того, чтобы средний показатель был действи­тельно типизирующим, он должен определяться не для любых совокупностей, а только для совокупностей, состоящих из каче­ственно однородных единиц. Это является основным условием на­учно обоснованного использования средних.

Средние, полученные для неоднородных Совокупностей, бу­дут искажать характер изучаемого общественного явления, фальсифицировать его, или будут бессмысленными. Так, если рассчитать средний уровень доходов служащих какого-либо района, то получится фиктивный средний показатель, посколь­ку для его исчисления использована неоднородная совокуп­ность, включающая в себя служащих предприятий различных типов (государственных, совместных, арендных, акционерных) _i а также органов государственного управления, сферы науки, культуры, образования и т.п. В таких случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок, позволяю­щим выделить однородные группы, по которым и исчисляют­ся типические групповые средние.

Групповые средние позволяют избежать "огульных" средних, обеспечивают сравнение уровней отдельных групп с общим уровнем по совокупности, выявление имеющихся различий и т.д.

ВИДЫ СРЕДНИХ И СПОСОБЫ ИХ ВЫЧИСЛЕНИЯ. Выбор вида средней определяется экономическим содержа­нием определенного показателя и исходных данных. В каждом конкретном случае применяется одна из средних вели­чин: арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадра-»тическая, кубическая и т.д. Перечисленные средние относятся к классу стеленных средних § и объединяются общей формулой* (при различных значениях т): где х - среднее значение исследуемого явления; т — показатель степени средней; х — текущее значение (вариант) осредняемого признака; и - число признаков.

В зависимости от значения показателя степени т различают следующие виды степенных средних:при т = -1 — средняя гармоническая Хгар; при т = О — средняя геометрическая х_г;

при т = 1 — средняя арифметическая х_ар ; при от = 2 — средняя квадратическая хкв; при т = 3 — средняя кубическая хкуб

При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше т в формуле (5.1), тем больше значение средней величины:

Это свойство степенных средних возрастать с повышением 1 показателя степени определяющей функции называется в стати-I* стике правилом мажорантности средних. Характер имеющихся данных определяет существование только одного истинного среднего значения показателя. Вид сред­ней выбирается в каждом отдельном случае путем конкретного анализа изучаемой совокупности, он определяется материаль­ным содержанием изучаемого явления, а также принципами суммирования и взвешивания. Помимо степенных средних в статистической практике ис­пользуются средние структурные, в качестве кото­рых рассматриваются мода и медиана.

СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ. Наиболее распространенным видом средних является сред­няя арифметическая. Она применяется в тех случаях, когда объ­ем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Для общест­венных явлений характерна аддитивность (суммарность) объе­мов варьирующего признака, этим определяется область при­менения средней арифметической и объясняется ее распро­страненность как обобщающего показателя. Так, например, общий фонд заработной платы — это сумма заработных плат всех работников, валовой сбор урожая - сумма произведенной продукции со всей посевной площади. Чтобы исчислить среднюю арифм-ую, нужно сумму всех значений признаков разделить на их число. Средняя арифметическая применяется в фор­ме простой средней и взвешенной средней. Исходной, опреде­ляющей формой, служит простая средняя. Средняя арифметическая простая равна простой сумме от­дельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений :

где X1,X2...Xn- индивидуальные значения варьирующего признака (варианты); n- число единиц совокупности. Средняя арифметическая взвешенная — средняя сгруппи­рованных величин— вычисляется по формуле:

Тогда формула взвешенной будет иметь вид:

X‾ap=∑xd / ∑d где d =f / ∑f— частость, т.е. доля каждой частоты в общей сумме всех частот.

Если частоты подсчитывают в долях (коэфф-тах), то ∑d=1 и формула средней арифметической взвешенной имеет вид:

Часто приходится исчислять среднюю по групповым сред­ним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним), т.е. среднюю из средних. Так, например, средняя

продолжит-ть жизни граждан страны представляет собой среднее из средних продолж-ей жизни по отдельным регионам данной страны. Средние из средних рассчитываются так же, как и средние из первоначальных значений признака. При этом средние, ко­торые служат для исчисления на их основе общей средней, при­нимаются в качестве вариантов. Вычисление средней арифметической взвешенной из групповых средних X‾гр осуществляется по формуле: X‾ap=∑X‾грf / ∑f

где f— число единиц в каждой группе.

Расчет средней арифметической в рядах распределения: Если значения осредняемого признака заданы в виде интер­валов ("от — до"), т.е. интервальных рядов распределения, то при расчете средней арифметической величины в качестве зна­чений признаков в группах принимают середины этих интерва­лов, в результате чего образуется дискретный ряд. Свойства средней арифмет-ой:

1) Если все индивидуальные значения признака (т.е. все варианты) уменьшить или увеличить в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в i раз. 2). Если все варианты осредняемого признака уменьшить или уве­личить на число А, то средняя арифметическая соответст­венно уменьшится или увеличится на это же число А. 3) Если веса всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в к раз, то средняя арифметическая не изменится.

Для получения действительной средней надо момент первого порядка от, умножить на i и прибавить А:

Данный способ вычисления средней арифмет-ой из ва­риационного ряда называют «способом моментов». Применяется этот способ в рядах с равными интервалами.

СРЕДНЯЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ.

При расчете средних показателей помимо средней арифме­тической могут использоваться и другие виды средних. Однако любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждого варианта осредняемого признака не изме­нялся итоговый, обобщающий, или, как его принято называть, определяющий показатель, который связан с осредняемым пока­зателем (например, при замене фактических скоростей на от­дельных отрезках пути их средней скоростью не должно изме­ниться общее расстояние, пройденное транспортным средством за одно и то же время; при замене фактических заработных плат отдельных работников предприятия средней заработной платой не должен измениться фонд заработной платы). Следовательно, в каждом конкретном случае в зависимости от характера имею­щихся данных существует только одно истинное среднее значе­ние показателя, адекватное свойствам и сущности изучаемого социально-экономического явления. Вид средней определяется характером взаимосвязи опреде­ляющего показателя с осредняемым. Формула средней гармо­нической взвешенной:

Из формулы видно, что средняя гармоническая — сред­няя взвешенная из варьирующих обратных значений признака. Она является преобразованной формой арифметической сред­ней и тождественна ей. Таким образом, средняя гармоническая применяется тогда, когда неизвестны действительные веса f, а известно w=x*f т.е. в тех случаях, когда средняя предназначается для расчета сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине данного признака, когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины.___В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице (индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу), применяется средняя гармоническая простая, ис­числяемая по формуле:

где 1/x— отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу; п — число вариантов.__Если по двум частям совокупности даны средние гармонические, то общую среднюю гармониче­скую по всей совокупности можно представить как взвешен­ную гармоническую среднюю из групповых средних:

Особым видом средних величин являются структурные сред­ние. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана. Мода M₀ — значение случайной величины, встречающее­ся с наибольшей вероятностью в дискретном вариационном ря­ду — вариант, имеющий наибольшую частоту. В интервальных рядах распределения с равными интервала­ми мода вычисляется по формуле:

где X_M0— нижняя граница модального интервала; i_M0 — модальный интервал;— частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалах (соответственно).

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте. Мода широко используется в статист-ой практике при изучении покупательского спроса, регистрации цен и т.п. Медиана Мe— это вариант, который находится в середи­не вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части — со значениями признака меньше медиа­ны и со значениями признака больше медианы. Чтобы найти медиану, необходимо отыскать значение признака, которое на­ходится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных ря­дах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы. Значение медианы вычисляется линейной интерполяцией по формуле:

где X_Me - нижняя граница медианного интервала; i_Me — медианный интервал; ∑f / 2 — половина от общего числа наблюдений; S_{M e-1} сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала; f_Me - число наблюдений в медианном интервале. Медиана находит практическое применение в маркетинговой деятельности вследствие особого свойства — сумма абсолютных отклонений чисел ряда от медианы есть величина наименьшая: ∑ (x-Me) →min. Мода и медиана в отличие от степенных средних являются конкретными харак-ми, их значение имеет какой—либо конкретный вариант в вариационном ряду.

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения сред­ней, совпадая с ней только в случае симметричного распределе­ния частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию рада распределения.

Мода и медиана, как правило, являются допол-ми к средней характ-ми совокупности и используются в мате­матической статистике для анализа формы рядов распределения. Аналогично медиане вычисляются значения признака, деля­щие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части — квартели, на пять равных частей - квттели, на десять частей -децели, на сто частей — перцентели. Использование в анализе вариационных рядов распределе­ния рассмотренных выше характеристик позволяет более глубо­ко и детально охарактеризовать изучаемую совокупность.

СРЕДНЯЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста. Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени п из произведений отдельных значений — вариантов признака х.

где n - число вариантов; П - знак произведения.

Наиболее широкое применение средняя геом-ая по­лучила для определения средних темпов изменения в рядах ди­намики, а также в рядах распределения.

СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ И СРЕДНЯЯ КУБИЧЕСКАЯ. В ряде случаев в экономической практике возникает по­требность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда при­меняется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (напри­мер, при определении средней длины стороны л кубов).

Формулы для расчета средней квадратической:

Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных зна­чений признака на их число:

Средняя квадратическая взвешенная

где f - веса.

Формулы для расчета средней кубической:

Средняя кубическая простая

Средняя кубическая взвешенная

Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется стати­стика средней квадр-ой, но не из самих вариантов х, и из их отклонений от средней при расчете показателей ва­риации. Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней мо­жет быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для "лучших" (например, для показателей выше или ниже средних индивидуальных).