6. Моделювання лазерного випромінювання в режимі модульованої добротності

В різних областях науки і техніки знайшли застосування лазери з різноманітними твердотілими активними (рубін, неодимове скло, гранат та інше).

Лазери на склі характеризуються високими рівнями імпульсної енергії і великими щільностями потужності випромінювання імпульсів.

Лазери на рубіні характеризуються великою середньою потужністю. На ітрій алюмінієвому гранаті характеризуються великою частотою повторення імпульсів випромінювання неперервним режимом випромінювання.

Основними параметрами, які визначають можливість їх застосування, є вихідна енергія випромінювання Е_вих і тривалість імпульсу генерації τ_r . Розглянемо енергетичні співвідношення в лазері з пасивним світлозатвором .

Розглянемо енергетичні співвідношення лазерів з пасивним світлозатвором.

Резонатор лазера з дзеркалами D1,D2 має коефіцієнти відбивання R_D1, і R_D2 і містять активний елемент АЕ довжиною l_e з коефіцієнтом підсилання α і коефіцієнтом втрат на лінії генерації ρ, а також перемикач добротності ПД з коефіцієнт пропускання , який знаходиться між активним елементом і дзеркалом D2.

Рисунок 1 – Енергетичні співвідношення в рубіновому лазері з пасивним перемикачем добротності

Нехай в момент часу t₀ світловий потік Ф₀, направлений від дзеркала D1 до активного елемента. Вихідні потоки Ф1 і Ф2 відповідно дорівнюють:

(1)

Втрати світлового потоку в світлозатворі на шляху від дзеркала D1 до дзеркала D2 і на зворотному шляху визначаються виразами:

Тоді загальні втрати в світлозатворі будуть:

(2)

Втрати світлового потоку в світлозатворі на шляху від дзеркала D1 до дзеркала D2 і на зворотному шляху визначаються виразами:

Тоді загальні витрати в активному елементі:

(3)

Для моменту t₁(t₁ – t₀<τ₁),коли світловий потік направлений від дзеркала D2 до D1, потоки на виході будуть відповідно дорівнювати:

(4)

Вважаючи, що протягом імпульса генерації відношення вихідних потоків є величиною сталою:

(5)

Підставивши (1) і (4) в (5), знаходимо умову сталості відношення світлових потоків протягом імпульса генерації:

(6)

Граничну умову генерації можна отримати при τ=1:

В даному випадку гранична умова генерації визначається рівнянням (6) при значенні коефіцієнта пропускання затвору в закритому стані τ₀.

Відношення вихідної енергії до повної енергії приймається рівним відношенню світлових потоків:

(7)

Нехай,

(8)

В – енергетичний коефіцієнт зв’язку. Він характеризує зв’язок між енергіями Е₀ та Е_вих – енергія імпульсного випромінювання лазера.

При коефіцієнті відбивання дзеркала D₂, k_D2=1, отримаємо:

(9)

При τ=1, коефіцієнт пропускання – вираз (9) – приймає вигляд:

Енергія, яка виділяється в резонаторі при генерації імпульсу:

(10)

де:

h – стала Планка;

ν_r – частота випромінювання, Гц;

n₀ – кількість атомів активатора в одиниці об’єму, 1/см³;

S_ef – площа генеруючої частини торця активного елемента;

L_a – опромінювана частина активного елемента;

δ_max – максимальна відносна інверсна населеність рівнів до моменту включення добротності резонатора;

δ_min – мінімальна відносна інверсна населеність рівнів, яка має місце в активному середовищі після генерації моноімпульса.

Визначимо співвідношення для параметрів, які входять в (10).

Для трирівневої системи відносна інверсна населеність рівнів:

(11)

де: n₁ і n₂ – кількість атомів активатора в одиниці об’єму, відповідно, які знаходяться в основному і метастабільному станах.

Величина δ може бути визначена з виразу:

де g₁ і g₂ – статичні ваги рівнів.

Для рубіна g₁=4, g₂=2

де:

k – стала Больцмана;

T – температура активного елемента;

ν_R1 і ν_R2 - частоти, які відповідають лініям R₁ та R₂

f – фактор, який відповідає зв’язку між джерелами накачки і активним елементом.

Інверсна населеність може бути також виражена через параметри, які характеризують втрати і підсилення.

Інверсна населеність, яка відповідає граничній енергії накачки, визначається співвідношенням:

(12)

Коефіцієнт підсилення:

а при граничній енергії накачці:

або (13)

де

Вираз (13) не враховує інтерференційні явища, які мають місце в резонаторі. З врахуванням цього при R_D2=1 коефіцієнт втрат в закритому стані затвора визначається співвідношенням:

(14)

а у відкритому стані:

(15)

де :

(16)

(17)

(18)

(19)

- коефіцієнт відбивання першого дзеркала з урахуванням інтерференції.

R_T – коефіцієнт відбивання торця активного елемента.

R_ГD – коефіцієнт відбивання від передньої грані перемикача добротності.

μ_кв – показник заломлення матеріалу кювети, в якості якого застосовується скло марок К-8, К-108, К-208, для яких μ_кв=1,5.

μ_е – показник заломлення матеріалу активного елемента (для рубіна μ_е=1,66).

Відомо, що коефіцієнт підсилення:

(20)

де:

(20а)

- ефективна площа переходу між метастабільним і основним рівнями, яка залежить від швидкості розповсюдження світла в активній речовині V і часу життя метастабільного стану τ₁₂ та ширини лінії генерації Δν, частоти переходу ν_R1.

Підставивши в (20) вираз для різниці n₂-n₁ із формули (11), отримаємо:

(21)

де: (22)

- граничний коефіцієнт підсилення середовища.

Граничний коефіцієнт підсилення середовища може бути визначений експериментально, а також розрахований із достатнім степенем точності по формулам (22) та (20а).

Розрахункове значення для граничного коефіцієнта підсилення в залежності від концентрації активатора і їх робочої температури може бути представлене у вигляді:

де:

a₀=2,645;

h₀=8,95·10^-3 1/К;

T – абсолютна температура,

Z_p – концентрація активатора.

Середнє квадратичне відхилення величини χ не перевищує σ_χ<0,02. Враховуючи формулу (21), зв’язок між коефіцієнтом підсилення при граничній енергії накачки і відповідним значенням інверсної населеності можна представити залежністю або .

З урахуванням формули (13) можна отримати, що:

(23)

Прирівнюючи праві частини рівнянь (23) і (12), можна отримати вираз для граничної енергії накачки:

(24)

де:

f – фактор зв’язку, який може бути розрахований при τ_П<τ₂₁ по формулі:

(25)

де параметр j знаходиться по формулі:

(26)

де:

- функція накачки, яка враховує розподіл енергії накачки по спектру і радіусу активного елемента, а також спектр поглинання активної речовини.

- коефіцієнт перетворення електричної енергії, яку підводять до лампи накачки, в світлову.

- коефіцієнт світлопередачі відбивача.

- діаметр активного елемента.

При визначенні граничного значення енергії накачки, функція накачки повинна визначатись для центральної області активного елемента, де умови генерації більш благоприємні, у відповідності з формулами (25) і (26).

Тоді, фактор зв’язку:

(27)

Вираз для функції накачки активного елемента циліндричної форми і гладко полірованою бічною поверхнею для випадку повітряного охолодження при показнику заломлення охолоджуючого середовища , представляється у вигляді:

(28)

де:

a₂=3,1;

b₂=0,275·d_e^;

c₂=0,3 при Z_П>0,008.

Для випадку рідкого охолодження (μ_ср=1,3-1,4):

(29)

де:

a₁=3,34;

b₁=0,92·d_e^;

c₂=0,024.

Формули (28) і (29) можуть бути використані при обчисленні функції накачки для елементів з шорстко полірованою бічною поверхнею. При цьому, в вираз (28) треба ввести К_шп=0,82:

Максимальна відносна інверсна населеність рівнів (10) в момент включення добротності резонатора при застосуванні пасивних перемикачів добротності визначається пороговими умовами генерації і може бути знайдена із співвідношення (30):

(30)

де - коефіцієнт втрат.

(30а)

Мінімальна відносна інверсна населеність , яка зберігається після генерації, відповідно знаходиться із співвідношення:

(31)

Або з урахуванням (30) вираз (31) можна записати у вигляді:

(32)

В цьому виразі коефіцієнт втрат треба визначити з урахуванням інтерференційних явищ в резонаторі по формулі (15).

Так як і позначивши відношення (32а), вираз можна записати у вигляді:

(33)

вираз (32) можна записати:

(34)

Залежність від зображена на рисунку 2 і застосовується для отримання шуканої величини:

Рисунок2 – Визначення мінімальної відносної інверсної населеності

Ефективну площу генерації можна визначити по формулі:

(35)

де:

- коефіцієнт втрат в резонаторі при відкритому стані затвора;

- відносна інверсна населеність рівнів периферійної частини активного елемента;

- площа торця активного елемента;

- відносний показник заломлення системи: активний елемент-охолоджуюче середовище.

Відносна інверсна населеність рівнів периферійної частини активного елемента може бути визначена із рівняння:

(36)

де:

Н – коефіцієнт, який характеризує втрати в активному елементі внаслідок розщеплення метастабільного рівня:

(37)

де:

=4,3209·10¹⁴ Гц – частота переходу на лінію R₁ при Т=300 К;

=4,3296·10¹⁴ Гц – частота переходу на лінію R₂ при Т=300 К;

Коефіцієнт - відношення функції накачки для периферійної і центральної областей активного елемента.

Його значення можуть бути визначені із наступних виразів:

(38)

для рубінового лазера з повітряним охолодженням :

(39)

для рубінового лазера з рідким охолодженням ,

діаметр активного елемента в [см], а концентрація активатора Z_p у вагових відсотках.

Значення коефіцієнтів:

0,5003	3,5·10-3	0,065	1,18	0,655	0,201	0,023	0,685	0,86

Отримавши розрахункові вирази для параметрів рівняння енергії Е₀, вираз (8) для енергії імпульсного випромінювання з урахуванням (10) можна записати у виді:

(40)

де (41)

Для рубінового лазера:

(42)

Враховуючи формули (23), (37), (11а), порогова енергія накачки із (24):

(43)

Знаючи аналітичні залежності для параметрів рівняння, які визначають вихідну імпульсну енергію випромінювання і енергію, яку запасає резонатор, можна отримати розрахункове співвідношення для тривалості імпульсу випромінювання, яка є основною характеристикою випромінювання при застосуванні лазера:

(44)

де:

- коефіцієнт заповнення резонатора;

=1,7·10¹⁰ см/с – швидкість розповсюдження світла в рубіні.

Користуючись енергією імпульсу випромінювання (42), і його тривалістю, можна визначити середню за імпульс потужність випромінювання:

(45)

При використанні електричних та оптомеханічних затворів, тобто при активному включенні втрат резонатора, вихідна енергія імпульсу випромінювання може бути визначена по тим же формулам, що і для пасивного затвора.

Особливістю розрахунків є необхідність визначення відносної інверсної населеності в момент включення добротності резонатора , мінімальної інверсної населеності і коефіцієнт активних втрат .

Для визначення в загальному випадку необхідно мати залежність інверсної населеності в активному середовищі від часу включення добротності резонатора при різних рівнях енергії.

Простіше цей параметр можна визначити, якщо врахувати, що при налагодженні лазера з активним включенням втрат, як правило в момент включення добротності резонатора підбирається таким чином, щоб забезпечити максимальну вихідну енергію імпульсу випромінювання при певній енергії накачки. При таких умовах максимальна інверсна населеність може бути знайдена по формулі (12).

Мінімальна інверсна населеність , яка зберігається в активному середовищі після генерації моноімпульса, визначається по формулам (32), (34). При цьому вважається, що:

При визначенні активних втрат по формулам (14) і (15) необхідно мати значення коефіцієнта пропускання перемикача добротності у відкритому стані або коефіцієнт втрат , які вносяться в резонатор затвором.

Для врахування пасивних втрат в резонаторі необхідно прийняти до уваги втрати, які зумовлені лінзовими ефектами в активному елементі:

(46 а)

і втрати, які зумовлені поглинанням в активному середовищі:

(46 б)

а пасивні втрати резонатора:

(47)