Задача 5 Приближённое решение игр методом итераций

5.1. Задание на выполнение работы

Решить приближенно методом итераций игру 3 х 3, приведенную в таблицах 1 и 2.

Таблица1.

	C1	C2	C3
K1	2	-3	4
K2	-3	4	-5
K3	4	-5	6

Таблица2.

	C1	C2	C3
K1	6	2	9
K2	2	9	0
K3	9	0	11

В преобразованной таблице 2 ко всем членам матрицы прибавлено +5, чтобы не иметь дела с отрицательными числами. При этом цена игры увеличится на 5, а оптимальная стратегия не изменится. Таблицу 2 для удобства пользования разместить на одном листе ЭТ Ms Excel вместе с таблицей 3. Затем надо оформить «шапку» для электронной таблицы и заполнить две первые строки, как показано в таблице 3.

Таблица3.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L
1	N	i	C1	C2	C3	j	K1	K2	K3	V	V	V*
2	1	3	9	0	11	2	2	9	0	0	9	4,5
3	2	2	11	9	11	2	4	18	0	4,5	9	6,75
…	…	…	…	…	..…	…	…	…	…	…	…	…
31	30	1	149	151	149	1	153	147	153	4,98	5,10	5,04

5.2. Технология заполнения таблицы

В первом столбце дан номер партии (пары выборов)- N; во - втором – номер выбранной в данной партии стратегия красных – i; в последующих трех “накопленный выигрыш” за первые N партий игры стратегий синих С₁, С₂, С₃,… Минимальное из трех значений подчеркнуто. Далее идет номер стратегии, которые выгоднее всего (соответствует подчеркнутому минимальному выигрышу); затем накопленный выигрыш при стратегиях k₁, k₂, k₃- из этих значений подчеркнуто максимальное. Этому числу соответствует оптимальная стратегия красных, номер которой помещается в следующей строке.

В таблице 3 в первом столбце дано: номер партии (пары выборов), во втором – номер выбранной в данной партии стратегии красных i, в следующих трех – «накопленный выигрыш» за первые N партии при стратегия синих С1, С2, С3. Минимальное значение выигрыша выделено (0, 9, 9, 18, и т.д.). Далее идет номер j-той стратегии Синих, которая для них выгоднее всего (соответствует подчеркнутому минимальному выигрышу Красных при их стратегии К3). Если среди накопленных выигрышей имеется два одинаковых минимальных, выделяется любой из них. Затем записывается накопленный выигрыш Красных, обеспечиваемый оптимальной стратегией Красных, номер которой и помещается в следующей строке во втором столбце, и процесс решения игры продолжается аналогично выше изложенному, пока получаемые в последнем столбце приближенное значение цены игры V* не будет колебаться вокруг истинного значения V=5 с приемлемой амплитудой (в несколько процентов). Приводимые в последних столбцах V, V, V* означают:

V – минимальный накопленный выигрыш, деленный на число партий N;

V – максимально накопленный выигрыш, деленный на число партий N;

V* =(V+V)/2 – приближенное значение цены игры.

5.3. Рекомендации по технологии выполнению работы

Результат заполнения второй строки (первой партии) очевиден (из рассмотрения таблицы2) и не требует пояснений, т.к. ни о каком накоплении выигрыша пока речи не идет. Накопление начинается со второй партии и учитывается добавлением к соответствующим выигрышам предыдущей строки выигрышей, получаемых при очередной стратегии. Так, в ячейку С3 записывается 9+2=11, в ячейку D3 – 0+9=9, в ячейку Е3 – 11+0=11 - выигрыши (накопленные) для Красных при стратегии К2. Аналогично, в ячейку G3 записывается 2+2=4, в ячейку H3 – 9+9=18, в ячейку I3 – 0+0=0 – выигрыши (накопленные) для Синих при их стратегии С2.

Очевидно, что доля второй партии V=9/2=4,5; V=18/2=9; V*=(4,5+9)/2=6,75.

Как следует из результатов второй партии третья партия начинается со стратегии Красных К2 и ведется полностью аналогично вышеописанному.

Подсчитывая число применений каждой стратегии, и деля его на число партий N, получаем приближенное значение частот, с которыми применяются стратегии в оптимальной смеси. Приближенное значение цены игры находится примерно на 30-ом шаге (партии).

ОТЧЕТ: Демонстрация преподавателю результатов решения игры (цена игры и частоты стратегий Красных и Синих) и их объяснение.