Системы счисления. Определения. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Основные правила. Рассмотреть на примерах.
Система счислений это совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью набора символов, называемых цифрами.
Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Системы счисления бывают позиционные и непозиционные. Непозиционные системы счисления - это системы, в которых значение символа не зависит от его места расположения в числе.
Позиционные системы счисления - это системы. в которых значение символа зависит от его места расположения в числе. Пример непозиционной системы счисления – римская (I-1 V-5 X-10 L-50 C-100 В-500 M-1000). К позиционным относится двоичная, десятичная, шестнадцатеричная.
В позиционной системе счисления значение каждой цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в числе. Например, в записи 555, сделанной в десятичной системе счисления, использована одна цифра 5, но в зависимости от занимаемого ею места она имеет разное количественное значение: 5 единиц, 5 десятков, 5 сотен.
Число 555 записано в привычной для нас (краткой) свернутой форме. В развернутой форме запись числа 555 в десятичной системе выглядит следующим образом: 555(10) = 5*10^2 + 5*10^1 + 5*10^0.
Число в позиционных системах записывается в виде суммы степеней основания (в данном случае 10), коэффициентами при этом являются цифры данного числа. Степень определяется разрядом (положением цифры в числе), начиная с 0.
В двоичной системе основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр 0 и 1. В развернутой форме двоичные числа записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1. Например, развернутая запись двоичного числа 101(2) будет иметь вид: 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = 5(10)
Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.
Двоичная система счисления. Использует две цифры – 0 и 1, а также символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной части.
Троичная система счисления. Использует три цифры – 0, 1 и 2, а также символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа.
Перевод из 10-ой системы счисления в 2-ую, 8-ую, 16-ую.
Чтобы перевести число из десятичной системы в двоичную(8-ую, 16 -ую) надо производить последовательное деление на 2 (8, 16) до тех пор пока в частном не получиться число меньше делителя.
В качестве результата записать последние значения частного и выписать за ним все остатки в обратном порядке. 1. Способ: 1) 40(10)= > 101000(2) 2) 123(10)=>173(8) 3) 123(10)=>7B
2.
Способ: 71(10)=> 100111(2)
71|1
35|1
17|1
8 |0
4 |0
2 |0
1
Основания СС- это количество цифр и символов для записи любого числа называется базой СС.
567, 89=5*10 во 2+6*10 в 1+ 7*10 в 0+ 8*10 в –1+9*10 в –2
Перевод целых десятичных чисел в другие сс производится методом последовательного деления на новое основание до тех пор, пока частное от деления не будет меньше основания системы. Число в новой сс записывается в виде остатков от деления, начиная с частного.
Перевод десятичных дробей в число другой сс выполняется умножением десятичной дроби на основание новой сс. Целая часть, полученного произведения, будет первым разрядом дробной части в новой сс и в дальнейшем умножении не участвует, и затем дробная часть снова подвергается умножению.
Смешанные числа десятичной сс переводятся отдельно за 2 приёма. Целая часть делением, а дробная умножением. Затем формируется общий результат, отделяя целую часть от дробной запятой.
Перевод в десятичную систему исчисления целых, дробных и смешанных чисел из любой другой сс удобно производить на основе вычислений в десятичной сс используем метод развернутой записи числа, при к-ом число определяется как сумма произведений соответствующих разрядов на степени их оснований.
При переводе восьмеричных и шестнадцатеричных в двоичную сс каждая цифра заменяется в двоичную сс каждая цифра заменяется соответственно 3-ч или 4-ч разрядными двоичными эквивалентными ( триада, тетрада). Это же правило используется при переводе 2-х чисел в 8-ную и 16-ную сс.