2.3 Предел и непрерывность
Определение
1.
Число
называется
пределом
функции
при
(обозначается
),
если
такое, что
выполняется неравенство
. (43)
Говорят,
что
,
если
такое, что
. (
)
Замечание. Существование предела по любому фиксированному пути ( ) для функции еще не гарантирует существование предела при .
Теорема
1. Для того
чтобы число
было пределом функции
в точке
необходимо и достаточно, чтобы существовали
и
.
Теорема
2. Для того
чтобы функция
имела в точке
конечный предел
необходимо и достаточно, чтобы: 1)
;
2)
.
Из
теоремы 1 следует, что известные теоремы
о пределах функции действительной
переменной, связанные с арифметическими
операциями, остаются справедливыми для
функции комплексного переменного, т.е.
если функции
и
имеют конечные пределы при
,
то
1)
;
2)
;
3)
.
Пример.
Показать,
что для функции
.
При
стремящемся к 0 по любому лучу
имеет место
следующее выражение
.
Таким образом, эти пределы различны для
различных направлений – они заполняют
сплошь отрезок
и, следовательно,
не существует.
Определение
2. Функция
называется непрерывной
в точке
,
если она определена в этой точке и
,
т.е. любого
существует такое
,
что из неравенства
следует неравенство
.
Определение
3.
– называется приращением
аргумента,
а
называется приращением
функции.
Определение
4. Функция
называется непрерывной
в точке
,
если бесконечно малому приращению
аргумента
в этой точке соответствует бесконечно
малое приращение функции
,
т.е.
.
Можно показать, что два последних определения непрерывности функции комплексного переменного эквивалентны.
Определение 5. Функция , непрерывная в каждой точке области , называется непрерывной в этой области.
Приведем свойства непрерывных функций комплексного переменного:
1)
Если функция
непрерывна в замкнутой ограниченной
области
,
то в ней она достигает как своего
наибольшего, так и наименьшего значения,
т.е.
;
2)
Если функция
непрерывна в замкнутой ограниченной
области
,
то она ограничена на этой области, т.е.
.
а)
;
б)
;
в)
.
10. Вычислить пределы:
а)
;
б)
;
в)
.
11. Доказать непрерывность на всей комплексной плоскости следующих функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.