Введение

Известно, что не на любом числовом множестве выполнима любая алгебраическая операция. Так, на множестве Z (целые числа) не всегда выполнима операция деления (например, – Z). Но множество Z является частью множества Q – множества рациональных чисел, т.е. Z Q, и на множестве Q операция деления выполнима. Однако на нем не всегда выполнима операция извлечения корня, например, на множестве Q не имеет решения уравнение . Множество Q является подмножеством множества R – множества действительных чисел. Но на множестве R операция извлечения корня также не всегда выполнима, например, не имеют решений уравнения и . Множество комплексных чисел вводится как расширение множества R таким образом, чтобы на нем эта операция была выполнима, т.е. чтобы было определено число, квадрат которого равен , и, следовательно, существовало решение простого уравнения .

С другой стороны, множество комплексных чисел можно ввести из геометрических соображений. А именно, действительные числа интерпретируются точками числовой прямой: каждому числу R соответствует точка на оси, а каждой точке – действительное число. Если рассмотреть эту задачу на плоскости хОу , то точке М, принадлежащей оси Ох, соответствует пара . В общем случае любой точке плоскости соответствует пара действительных чисел, а множество таких пар можно рассматривать как расширение множества пар . Если в таком множестве ввести алгебраические действия, так чтобы в частном случае, т.е. для , они совпадали с операциями в R, а в общем случае позволяли выполнить операцию извлечения корня (в том числе извлечения корня четной степени из отрицательного числа), то множество – искомое.

Итак, рассмотрим множество упорядоченных пар действительных чисел. Элемент множества обозначим . Пары, образующие множество, – упорядоченные, т.е., например, пара не совпадает с парой .

Два элемента назовем равными, если у них равны соответствующие компоненты, т.е. для и равенство выполняется тогда и только тогда, когда , .

Суммой элементов и назовем элемент такой, что , , а операцию сложения обозначим .

Произведением элементов и назовем элемент такой, что , , а операцию умножения обозначим .

Можно убедиться, что введенные таким образом операции сложения и умножения удовлетворяют свойствам этих операций, известным на множестве R. Например, , – переместительные законы сложения и умножения и др. Поэтому можно считать, что знаки, принятые в обозначениях суммы и произведения, – обычные знаки сложения и умножения.

Рассмотрим произведение на . Результатом умножения будет число , где , , т.е. или . Следовательно, элемент (0,1) построенного множества есть тот элемент, квадрат которого равен . Этот элемент обозначается буквой i, т.е. и .

Таким образом, решены обе поставленные задачи:

• множество R является подмножеством построенного;

• в построенном множестве есть элемент, квадрат которого равен .

Это множество называется множеством комплексных чисел, и обозначается С. Элементы z множества называются комплексными числами: C.

Для удобства выполнения операций вводится алгебраическая форма записи комплексного числа следующим образом. В результате умножения чисел и получаем , а сумма чисел и дает . Поэтому любое комплексное число можно записать в виде .

На множестве С вводятся понятия функции и ее предела таким образом, что соответствующие понятия действительного анализа рассматриваются как частный случай. Естественно, при этом сохраняются известные свойства функций действительного переменного: теоремы о пределах, правила дифференцирования, формулы интегрирования и т.д. Однако, благодаря расширению класса функций, частным случаем которых являются функции действительного переменного, появляются новые свойства. Например, доказывается, что из существования производной функции следует существование ее производных п-го порядка в области. Устанавливается, что все элементарные функции связаны между собой: тригонометрические функции выражаются через показательную функцию, а обратные тригонометрические – через логарифмическую. Значительно глубже, чем в анализе функций действительного переменного, развита геометрическая теория – конформные отображения. Благодаря сочетанию аналитических и геометрических методов теория функций комплексного переменного находит широкое применение в других разделах математики и прикладных задачах.