14. Одномерный поиск оптимума.

метод скорейшего спуска представляет собой многомерный поиск, т.к. минимум ищется на разных направлениях. Когда минимум ищется только в одном направлении для уточнения направления следующего уровня - одномерный поиск.

Одномерный поиск Для многомерного поиска разработаны десятки методов, для одного поиска около 1 десятка методов. Рассмотрим одномерное приближение. Метод последовательных приближений (р) P - длина шага оптимизации; φ - значение целевой функции 1. при нарушении условий движения (φi+1 > φi) движение останавливается 2. Возвращается на 1 шаг назад. 3. Делим длину шага на R где R = 3-10 4. Возобновляем движение с новым шагом. 5. При нарушении условий движения все повторяется, и т.д. Условия останова: - Значение j < заданного

- Разность между соседними значениями j < заданной - Длина шага < заданной - Кол-во шагов превышает заданное. Любое из этих условий приводит к останову. Метод золотого сечения

Если возьмем пропорцию: x1/x = x2/x1 = 0.618-mo (р) Такое соотношение называется золотой пропорцией. 1. При нарушении условий движения последний шаг делим в отношении золотой пропорции слева на право. 2. Этот же отрезок делим в золотой пропорции справа на лево. В результате получим 2 новые точки

3. Сравниваем значения j в новых точках. 4. Выбираем отрезок, которому соответствует меньшее из этих двух j. 5. Полученный отрезок делим в отношении золотой пропорции слева направо, и т.д. Условия останова те же, что и в предыдущем случае. Метод параболической аппроксимации (р) При нарушении условий значения j в последних 3-х точках подставляется в формулу решения системы 3-х уравнений для параболы. Это решение позволяет находить координаты минимума параболы, роходящий через 3 последние точки. Сравнение методов одномерного поиска МПП более прост (движемся, делим), но требует много шагов (м.б. 10 и 100 шагов). МЗС позволяет найти min за 3-4 шага. МПА более сложен, но позволяет найти min за 1 шаг. Но МПА обладает методической погрешностью, поскольку парабола отличается от истинной кривой; обычно эта погрешность невелика. В пакетах программ для расчета оптики обычно используется в качестве метода многомерного поиска демнорированый МСС, а в качестве метода одномерного поиска - МПА.

15. Понятие оптимизац задач и оптимиз моделей

Экономико-математические задачи, цель которых состоит в нахождении оптимального с точки зрения некоторого критерия или критериев варианта использования имеющихся ресурсов, называются оптимизационными. Они решаются с помощью оптимизационных моделей (ОМ) методами математического программирования. Структура оптимизационной модели состоит из целевой функции, области допустимых решений и системы ограничений, определяющих эту область. Целевая функция в самом общем виде, в свою очередь, также состоит из трех элементов: управляемых переменных; неуправляемых переменных; формы функции. Область допустимых решений  это область, в пределах которой осуществляется выбор решений. В экономических задачах она ограничена наличными ресурсами, условиями, которые записываются в виде системы ограничений, состоящей из уравнений и неравенств. Если система ограничений несовместима, то область допустимых решений является пустой. Ограничения подразделяются: а) на линейные и нелинейные;

б) детерминированные и стохастические. Стохастические ограничения являются возможными, вероятностными, случайными. ОЗ решаются методами математического программирования, которые подразделяются: на линейное программирование; нелинейное программирование; динамическое программирование; целочисленное программирование; выпуклое программирование; исследование операций; геометрическое программирование и др. Главная задача математического программирования  это нахождение экстремума функций при ограничениях в форме уравнений и неравенств.