3.1.Системы счисления.

Определение. Системой счисления называется совокупность символов (цифр) и правил их использования для представления чисел.

Существует два вида систем счисления:

• Непозиционные системы счисления — Примером этой системы счисления является Римская система, в которой в качестве цифр используются некоторые буквы: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000). Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе ХХХ цифра Х встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину 10, а в сумме ХХХ — 30.

  Таблица 3.1.
  Десятичное число	Двоичное число
  0	0000
  1	0001
  2	0010
  3	0011
  4	0100
  5	0101
  6	0110
  7	0111
  8	1000
  9	1001
  10	1010
  11	1011
  12	1100
  13	1101
  14	1110
  15	1111

• Позиционные системы счисления — В позиционной системе счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в записи числа. Позиция цифры называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево.

Достаточно широкое распространение получила шестнадцатеричная система счисления, которая позволяет получить более компактную запись числа (иными словами, увеличить информационную емкость одной тетрады). Десяти арабских цифр для шестнадцатеричной системы недостаточно, и для изображения шести старших цифр в этой системе используют 6 начальных букв латинского алфавита:

10₁₀ = A₁₆, 11₁₀ = B₁₆, 12₁₀ = C₁₆, 13₁₀ = D₁₆, 14₁₀ = E₁₆, 15₁₀ = F₁₆

Пример: Перевести число 234₁₀ в систему счисления с основанием 2.

Будем делить число 234₁₀ последовательно на 2 нацело и записывать остатки, не забывая нулевые:

234 : 2 = 117 остаток 0

117 : 2 = 58 1

58 : 2 = 29 0

29 : 2 = 14 1

14 : 2 = 7 0

7 : 2 = 3 1

3 : 2 = 1 1

Результат последнего деления на 2 уже не делится, и эта цифра будет старшей цифрой нашего числа. Выписав все остатки, начиная с последнего, получим двоичное представление числа:

234₁₀ = 11101010₂.

Пример: Перевести число 0,45₁₀ в двоичную систему счисления.

Имеем следующую последовательности действий:

0,45  2 = 0,9

0,9  2 = 1,8

0,8  2 = 1,6

0,6  2 = 1,2

Таким образом: 0,45₁₀ = 0,0111₂

3.3.3. Преобразования чисел из двоичной в восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления и обратно.

Эти действия осуществляются по упрощенным правилам с учетом того, что основания этих систем счисления кратны целой степени 2, т.е. 8 = 2³, а 16 = 2⁴. Это означает, что при преобразовании восьмеричного кода числа в двоичный необходимо его каждую восьмеричную цифру заменить соответствующим трехзначным двоичным кодом (триадой).

Пример: 5316,2₈ = 101 011 001 110, 001₂

При преобразовании шестнадцатеричного кода числа в двоичный необходимо каждую шестнадцатеричную цифру заменить черырехзначным двоичным кодом (тетрадой).

Пример: 83BE,6₁₆ = 1000 0100 1010 1110, 0110₂

При преобразовании шестнадцатеричного кода числа в восьмеричную необходимо произвести сначала преобразование шестнадцатеричного числа в двоичную запись, а затем из двоичную, выделив триады, сформировать восьмеричную запись.

Пример: 1CD,4₁₆ = 0001 1100 1101, 0100₂ = 000 111 001 101, 010 0₂ = 715,2₈

При преобразовании двоичного кода в восьмеричный или шестнадцатеричный, двоичный код делится соответственно на триады или тетрады влево и вправо от запятой (точки), разделяющей целую и дробную части числа. Затем триады (тетрады) заменяются восьмеричными (шестнадцатеричными) цифрами.

Пример: 1001100101011,10101₂ = 001 001 100 101 011, 101 010 = 11453, 52₈

1 0011 0010 1011,1010 1₂ = 0001 0011 0010 1011, 1010 1000 = 132B. A8₁₆

Все отрицательные числа записываются в ЭВМ в виде:

2^N – |m|

где N — количество двоичных разрядов, а m — конкретное значение отрицательного числа.

Поскольку фактически вместо числа теперь записывается его дополнение до некоторой характерной величины 2^N, то такой код назвали дополнительным. Для получения такого представления отрицательных чисел обычно используется следующий алгоритм преобразования:

• Модуль |m|отрицательного m числа переводится в двоичную форму;

• Производится поразрядное инвертирование получившегося кода, т.е. осуществляется замена единиц нулями, а нулей – единицами (кстати, такой код называется обратным);

• К полученному обратному коду обычным образом прибавляем единицу.

Пример: пусть 00001000 есть исходное число
	11110111	— обратный код числа
	1	— добавляемая единица
	11111000	— дополнительного код числа