2. Аналіз методів розв`язування системи рівнянь стану еес

Методи розв'язування рівнянь стану ЕЕС можна розділити на дві великі групи - прямі й ітераційні. До прямих відносяться методи, що дозволяють одержати розв'язок в результаті кінцевої кількості арифметичних операцій, які залежать від обчислювального алгоритму, а також від порядку і структури матриці коефіцієнтів системи рівнянь. В математиці методи цієї групи називаються також точними, оскільки, якщо вихідні дані задані точно (у вигляді цілих чисел або звичайних дробів) і обчислення виконуються точно (наприклад, за правилами дії над звичайними дробами), то розв’язок також виходить точним. Відзначимо, що при розв’язуванні технічних задач на ЕОМ через похибки задання вхідної інформації (із припустимою для даної задачі точністю) і неминучого округлення проміжних результатів обчислень одержати точний результат принципово неможливо, і в цьому змісті термін "точний метод" є умовним.

До ітераційних відносяться методи, за допомогою яких розв'язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь отримуємо як межу послідовних наближень до певної величини: Процедура обчислень відбувається за допомогою однотипних операцій. В математиці ітераційні методи називаються наближеними, оскільки навіть у припущенні, що обчислення ведуться без округлень, вони дозволяють одержати розв'язок системи рівнянь лише з заданою точністю.

2.1 Розв’язок рівнянь методом простої ітерації та Зейделя

Ітераційні методи розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь дозволяють одержати значення шуканих невідомих у результаті багаторазового виконання однакових кроків обчислень, які називаються послідовними наближеннями або ітераціями. На відміну від прямих методів, до числа яких відноситься метод Гауса, розв'язок можна одержати тільки із заданою кінцевою точністю, причому зі збільшенням необхідної точності зростає і кількість ітерацій.

Вихідна система лінійних алгебраїчних рівнянь при розв'язуванні методом простої ітерації має вигляд

в припущенні , що , приводиться до вигляду:

(2.1)

Алгоритм розв'язування системи рівнянь (2.1) відповідно з методом простої ітерації такі:

1. задаються початковим (ненульовим) наближенням невідомих ;

2. значення підставляються в праві частини рівнянь (2.1) і тим самим визначаються наступні наближення невідомих ;

3. підстановкою отриманих значень знаходиться наступне наближення і т.д.

Таким чином, на k-му кроці ітераційного процесу система (2.1) запишеться як

Ітераційний процес продовжується доти, поки значення x_i, отримані на двох суміжних ітераціях, не будуть відрізнятися на величину, меншу заданої похибки обчислень , тобто до виконання умови

Програма розрахунку за методом простої ітерації

Напруги у вузлах мають такі значення:

Розрахунок за методом Зейделя: