44. Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины. Ее числовые характеристики

 08 января 2008   Манакова Юля 

F(x) = 0, x<0; = 1-e^-λx, x>=0. f(x) = 0, x<0; = λe^-λx, x>=0. p(a<X<b)=(e^-a) –(e^-b). M(X)= ∫ от 0 до ∞ (xλ e^-λx)dx = -xe^-λx│+ ∫ от 0 до беск (e^-λx)dx= 1\λ(e^-λx)| = 1\λ. D(X) = ∫ от 0 до беск (x^2 * λe^-λx) dx – 1\(λ^2) = - (x^2) e^-λx| +2 ∫ x e ^-λx dx = 1\x^2

 08 января 2008   Манакова Юля 

f(x) = (1\σ *корень из 2π) *е^( - (x-a)^2\2 σ^2) = 1\ σ φ(x-a\ σ). F(x) = (1\σ *корень из 2π)∫от -∞ до х (e^(-(z-a)^2\2 σ^2))dz = 1\2 = Ф0(x-a\ σ). M(X) = (1\σ *корень из 2π) )∫от -∞ до ∞(x*е^( - (x-a)^2\2 σ^2))dx = (1\корень из 2п)∫от -∞ до ∞(tσ+α)e^(-t^2\2)dt = (σ\корень из 2п)∫ t e^(-t^2\2)dt (это =0) = α\корень из 2п )∫ e^(-t^2\2)dt = a. D(X) = (1\σ *корень из 2π) )∫от -∞ до ∞(x-a)^2* e^( - (x-a)^2\2 σ^2) = σ^2. График пл-ти норм распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Ф-ция f(x) = (1\σ *корень из 2π) *е^( - (x-a)^2\2 σ^2) определена на всей оси х, расположена над осью 0х (принимает при всех значениях х положителбные значения), предел = 0 (при |x| стрем-ся к беск-ти), гр-к ф-ции симметричен относительно прямой х = а, при х = а максимум = 1\σ *корень из 2π.

 08 января 2008   Манакова Юля 

Функцией Лапласа называется функция вида Ф(Х)= 1\корень из 2п ∫от 0 до х (е^(z^2\2))dz Св-ва; 1. Функция Ф(х)—нечетная, т.е. Ф(-х) =-Ф(х) 2. Функция монотонно возрастает, т.е. х2>x1 следовательно, Ф(х2)>Ф(х1) )=-1\2 )=1\2. Ф(-3.Ф(+

 08 января 2008   Манакова Юля 

P(c<=X<=d) = P(c<=X<d)= P(c<X<=d)= P(c<X<d) = Ф0 (d-a\σ) - Ф0 (c-a\σ) Пр-ло 3х сигм: P(|X-a| <3σ) = P (a-3σ<X<a+3σ) = Ф0((a+3σ)-a\ σ) - Ф0((a-3σ)-a\ σ) = Ф0(3) – Ф0(-3) = 2Ф(3) = 0.9973, т.е. вер-ть того, что отклонение по абсолютной в-не будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0.9973. Если распредел-е изучаемой СВ неизвестно, но условие, указанное в привидённом правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая в-на распределена норм; в противном случае – нет.

 11 января 2008   Мыльникова Сонечка 

Функции случайных величин.Плотность вероятности суммы двух случайных величин ~ Распределение произведения двух случайных величин  Если  - случайная величина с областью значений X_ и функция f(x) определена на множестве X_ , то  = f(x) - тоже случайная величина. Задача об отыскании функции распределения случайной величины  по известной функции распределения случайной величины  легко решается, если f(x) - непрерывная монотонно возрастающая функция. Доказано, что тогда функция распределения F (x) случайной величины  задается формулой F (x)=F_ ([f(x)]^-1).Здесь F_ (x) - известная функция распределения случайной величины  , а символом [f(x)]^-1 обозначена функция, обратная к функции f(x). Плотность распределения случайной величины  для дифференцируемой f(x) вычисляется по формуле Плотность вероятности суммы двух случайных величин В теории вероятностей часто возникает необходимость в определении плотности вероятности суммы двух независимых случайных величин. Если  ₁ и  ₂ - непрерывные независимые случайные величины с плотностями вероятности соответственно p₁(x) и p₂(x), то плотность вероятностей суммы  =  ₁ +  ₂ вычисляется по формуле: .Распределение произведения двух случайных величин Порядок построения распределения произведения двух дискретных случайных величин проще всего объяснить на примере.Пусть ( ,  ) - дискретный случайный вектор с распределением:  

 Найдем распределение произведения случайных величин - случайной величины  =   , которая принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8. Вычислим соответствующие вероятности:P( =    = 0) = P( = 0,  = 1) + P( = 0,  = 2) + P( = 0,  = 3) + P( = 0,  = 4) = 0.1;P( = 1) = P( = 1,  = 1) =0.1; P( = 2) = P( = 1,  = 2) + P( = 2,  = 1) =0.15; и т.д.В результате получим распределение случайной величины  =    : 

 Для того чтобы найти распределение произведения непрерывных случайных величин, необходимо выполнить более громоздкие вычисления.Пусть ( ,  ) - непрерывный двумерный случайный вектор с плотностью распределения p_{(  )}(x₁, x₂). Построим функцию распределения случайной величины  =   . Согласно определению .Для вычисления этой вероятности рассмотрим отдельно случаи x>0 и x<0. Области интегрирования для обоих случаев на рисунке закрашены.

Область D={ x₁x₂ < x, x > 0} изображена на рисунке слева, а область D={ x₁x₂ < x, x < 0} - справа.

При x>0 имеем:

.

При x<0: