- •1. Приведите классическое определение вероятности и укажите, при соблюдении каких условий оно применимо
- •Е сли появление события в непременно влечет за собой появление события а, то как в этом случае соподчинены противоположные им события а и в?
- •Приведите пример какого-либо опыта с конечным числом элементарных исходов, в условиях которого нельзя исчислять вероятности событий по формуле классического определения вероятности.
- •9. Приведите известные вам формулы комбинаторики, которые используются при непосредственном исчислении вероятности по ее классическому определению.
- •10. Приведите определение условной вероятности.
- •11. Зависимость и независимость двух событий (определение).
- •20. Сформулируйте условия, при выполнении которых применяется теорема Байеса. Приведите формулировку и краткое доказательство этой теоремы.
- •21. Функция распределения случайной величины и ее свойства.
- •22. Функция плотности распределения вероятности и ее свойства.
- •23. Ряд распределений дискретной случайной величины и его свойство.
- •24. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.
- •25. Дисперсия дискретной св и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение св.
- •26. Математическое ожидание непрерывной cb и его свойства
- •27. Дисперсия непрерывной cв и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение св.
- •28. Начальные и центральные моменты св. Выражение матожидания и дисперсии через моменты.
- •На основе закона распределения альтернативно распределенной cв получить выражение для мат.Ожид-я биноминально распр. Св.
- •На основе закона распределения альтернативно распределенной cв получить выражение для дисперсии биноминально распределенной св.
- •Случайная величина принимает целые значения в промежутке от 0 до n с равной вероятностью. Вывести выражение для матожидания этой св.
- •42. Предельным законом для какого распределения является распределение Пуассона. Какие значения может принимать св, распределенная по закону Пуассона.
- •43. Плотность распределения и функция распределения равномерной св, ее числовые характеристики.
- •44. Плотность распределения и функция распределения показательной св, ее числовые характеристики.
- •45. Плотность распределения и функция распределения нормальной cb (распределение Гаусса), ее числовые характеристики.
- •46. Функция Лапласа. Ее свойства.
- •47. Вероятность попадания нормально распределенной cв на отрезок, правило «трех сигм».
- •49. Числовые характеристики св, распределенных по равномерному, показательному и нормальному законам (значения матожидания и дисперсии)
- •50. Дайте определение совместной функции распределения двумерной св и укажите ее свойства. Обоснуйте эти свойства и приведите примеры их выполнения
- •Сформулируйте определение и напишите формулу для вычисления корреляционного момента (коэффициента ковариации) двух св. Докажите, что для независимых cв его значение равно нулю.
- •Доказать локальную предельную теорему Муавра-Лапласа.
- •Доказать интегральную теорему Муавра-Лапласа.
- •Доказать неравенство Чебышева.
- •59.Доказать теорему Чебышева.
- •60. Понятие генеральной совокупности, выборки из нее. Представление выборки в виде вариационного ряда. Определение вариационного ряда.
- •Эмпирическая функция распределения, ее свойства, способ построения по выборке.
- •Понятие оценок числовой характеристики или параметра св. Свойства оценок.
- •63. Нахождение несмещенной оценки генеральной средней (матожидания) св
- •Нахождение несмещенной и смещенной оценок генеральной дисперсии св.
- •Понятие гистограммы частот, способ построения, пример.
- •Понятие точечных и интервальных оценок. Определения. Примеры.
- •68. Свойства точечных оценок параметров, несмещенность, состоятельность, эффективность (определения).
- •Определение и свойства оценок: выборочного среднего, выборочной дисперсии и неправленой выборочной дисперсии.
- •Выборочный коэффициент ковариации (формула).
- •Доказать, что выборочное среднее является состоятельной и несмещенной оценкой матожидания.
- •Доказать, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии.
- •Какими понятиями определяется интервальная оценка параметра? Какая существует между ними связь в виде формулы?
- •76. Построение интервальной оценки (доверительного интервала) (с надежностью γ) матожидания нормально распределенной cв при известной дисперсии (вывод).
- •Построение интервальной оценки (доверительного интервала) ( с надежностью γ) матожидания нормально распределенной cв при неизвестной дисперсии (вывод).
- •Интервальная оценка дисперсии cв по выборке при известном и неизвестном матожидании (формулы).
- •Вывести оценку требуемого объема выборки для построения доверительного интервала заданной длины для матожидания в случае нормального распределения.
- •Назначение и суть метода моментов и метода максимального правдоподобия.
- •Сформулируйте основной принцип статистической проверки гипотез.
- •Что такое ошибка 1-го рода.
- •83. Что такое ошибка 2-го рода.
- •84. Что такое критическая область.
- •90. Модель парной линейной регрессии, уравнение и основные вероятностные допущения
- •92. Виды нелинейных зависимостей, сводящихся к линейной регрессионной модели и соответствующие им предварительные преобразования исходных данных
60. Понятие генеральной совокупности, выборки из нее. Представление выборки в виде вариационного ряда. Определение вариационного ряда.
Генеральная совокупность – совокупность всех мысленновозможных объектов интересующего нас типа с которых при неизменных условиях «снимаются» наблюдения.
Выборка из генеральной совокупности – это обследованная часть генеральной совокупности (результат х1, х2,…, хn ограниченного ряда наблюдения). N – объем выборки.
Вариационным (статистическим) рядом называется таблица, первая строка которой содержит в порядке возрастания элементы xi', а вторая - их частоты (относительные частоты mi.
Генеральной совокупностью опыта называется множество объектов, из которых производится выборка. Каждый из объектов задает фиксированное значение случайной величины Х. Количество (N) входящих в генеральную совокупность объектов называют объемом генеральной совокупности. Она может состоять из бесчисленного множества объектов.
Выборка - множество {Х1, Х2, ...., Хn} случайно отобранных объектов (значений) из генеральной совокупности. Объемом выборки n называют число входящих в нее объектов. К выборке предъявляется требование, чтобы она адекватно представляла генеральную совокупность, т.е. была репрезентативной, если ее осуществлять случайно, т.е. каждый из объектов генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность попасть в выборку. Очевидно, что можно осуществить в одинаковых условиях k выборок объема n и получить различные совокупности значений случайной величины Х: {Х1^(1),...,Хn^(1)},{Х1^(2),...,Хn^(2)}, ..., {Х1^(k),...,Хn^(k). Пусть для генеральной совокупности опыта случайная величина Х имеет функцию распределения F(x), тогда каждую из выборок {Х1^(1),...,Хn^(1)},{Х1^(2),...,Хn^(2)}, ..., {Х1^(k),...,Хn^(k) можно рассматривать, как реализация n-мерной случайной величины (Х1,...,Хn), где составляющая Хi, i=1, ... , n , есть значение величины Х в i-ом опыте. Очевидно, что все составляющие Хi будут иметь одинаковый закон распределения F(x). Так как компоненты Хi независимы, то функция распределения n-мерной случайной величины (Х1, Х2, ... ,Хn) определяется формулой: F(x1, x2, ..., xn) = F(x1)F(x2)...F(xn)
Вариационным рядом называется выборка {â1, â2, ..., ân}, полученная в результате разложения значений исходной выборки в порядке возрастания. Значения âi называются вариантами.
Эмпирическая функция распределения, ее свойства, способ построения по выборке.
Эмпирической функцией распределения, построенной по выборке X=(X1,…,Xn)
объема n называется случайная функция Fn*:R x Ω→[0,1] , при каждом равная
n
Fn*(y)=1/n Σ I(Xi<y)
i=1
Свойства:
она не убывает: если x1<x2, то Fξ(x1)≤Fξ(x2);
cуществуют пределы lim Fξ(x) = 0 и limFξ(x) = 1; x→-∞ x→+∞
она в любой точке непрерывна слева: Fξ(x0-0)=limFξ(x)= Fξ(x0) x→ x0-0
По выборке строится гистограмма
Для построения гистограммы частот по оси абсцисс откладывают частичные интервалы, по оси ординат – плотности частот. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки. Площадь гистограммы относительных частот равна 1.